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sviluppi dello zero. A dimostrarlo, considero prima una funzione f(x), data 

 nell'interno e sul contorno di ima cassinoide c connessa. Sia d una cassi- 

 noide pure connessa ed interna a c. Si esclude che lungo le linee c, d si 

 trovino alcuni dei punti a n , § n ; fra c e d vi siano invece i punti 



a r , CC r+ i , ... a r r e § s , /? s+1 , ... § s r . 



Si avrà allora entro c : 



f(x) = 2 (C n + <?'« ^)i?n (#) , 



ed entro d : 

 Essendo 



e 



Cn = ^ ^ ^ ^ ^ ^ ' 



la differenza c„ — c» sarà eguale alla somma dei residui della funzione 



O» -\-z)f (*) 00 

 nella corona compresa fra c e e' ; e poiché questa funzione è infinita solo nei 

 poli di q n (2), che sono (per n maggiore di r 0 di s) i punti 



«;,(£ = '/•.../) e fy,Q = s ...i) , 

 così, detti Ei, n ed 5j> i residui di q n (2) in quei punti, si avrà : 



r' s' 



c n — c n = >_ (a n -f- a t ) f (ai) Ei,„ ( a n + &) / (&■) Sj.„ - K M ; 

 ed analogamente si calcola 



/ p — W 



v n v n — n 5 



e la serie 



2(K n + K' w x)f n (x) 

 è uno sviluppo dello zero convergente nell'interno della cassinoide d. 



« Mediante una dimostrazione analoga a quella fatta dal Froebenius al 

 § 4 della Memoria citata pel caso dei sistemi di primo grado, si prova che 

 tutti gli sviluppi dello zero convergenti entro una cassinoide connessa, e linear- 

 mente indipendenti, sono in numero finito. 



« Considerando in secondo luogo due cassinoidi a due ovali, e fra queste 

 essendo 0 , 0' quelle che circondano il punto 1 , e 0' interno ad 0 , si potrà 

 limitarsi a supporre che fra 0 e 0' cadano soltanto punti del gruppo (a n ) , 

 e questi daranno luogo a sviluppi dello zero analoghi a quelli del caso 

 precedente. 



« Finalmente, supponendo di avere una funzione data nella cassinoide 

 connessa c , e considerando entro questa un'ovale 0 appartenente ad una cas- 

 sinoide non connessa, fra queste curve cadranno punti del gruppo (a n ) in 



