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« 3. Pongasi 



(x — a») (x — /?„.) = x 1 -f- a? +..i M , '• 

 e si rappresentino con q n (g) le funzioni di un secondo sistema, definito dalle 

 relazioni 



( 4 ) q n -i (*) (z 2 + a» « + b„) q n (z) 



(n =f 1, 2, 3, 00) 



insieme a 



(£ 2 -j- a 0 2 + i 0 ) (/o = 1 • 

 « Si formino con queste le serie 



9> = X ?«(*).?♦» fa')» spi = X a » 



la prima di queste è convergente assolutamente per valori di x e di 2 tali 

 che sia 



|^-1|<|^-1|, 

 cioè per x interno e 2 esterno alla medesima cassinoide ; la seconda lo sarà 

 a fortiori sotto la medesima condizione, poiché le a n tendono a zero per 

 n = 00 . 



« Dalle (1) e (4) si deduce senza difficoltà 



X 2 (f -j- X<fi (p n +i b n Pn) — — 1 + 2 2 (P + 3( fli 



0 



onde 

 (5) 



2 — x 



Y (a n + * + 0) Pn (x) 



« Mediante questa formola e l'applicazione del teorema di Cauchy, qua- 

 lunque funzione f(x) data regolare entro una cassinoide connessa, 0 entro 

 un'ovale di una cassinoide non connessa, sarà sviluppabile in serie della forma 



(6) f(x) = 2 (C n -J- C' n X)p n (X) , 



dove 



l'integrazione essendo estesa al contorno dell'ovale in cui è data la funzione. 

 Conviene notare che se il campo dato è una delle ovali di una cassinoide 

 non connessa, la serie 



(6) 2(e n + 



xc n ) p n (x) 



sarà convergente anche nella seconda ovale, ma potrà non rappresentare la 

 medesima funzione analitica. 



* 4. Lo sviluppo della forma (6), trovato per una funzione data entro 

 una cassinoide, non è unico ; in altre parole, esistono, coi sistemi p n (x), degli 



