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applicabili a queste serie, che ne sono una manifesta generalizzazione, altri 

 non sono più validi: è notevole in particolare l'esistenza degli sviluppi dello 

 zero avvertita dal Froebenius. Ma il risultato più importante che emerge dai 

 lavori citati, è la possibilità dello sviluppo in serie di p n {x) per ogni fun- 

 zione f(x) regolare nell'intorno di x = a. 



« Ora questo risultato, per le serie di funzioni p n (x) appartenenti ad un 

 sistema ricorrente di grado superiore al primo, non si mantiene più in modo 

 altrettanto generale, e sono quindi necessarie delle distinzioni che mi pro- 

 pongo di stabilire per il caso dei sistemi di secondo grado. 



« 1. Abbiasi dunque il sistema di funzioni razionali intere, definite da 



(1) p 0 (x)=l, JW {%) = (X — On) (x — @n)Pn (#) ; 



e supponiamo che i gruppi (a„) , (/?„) siano normali, coi punti limiti distinti 

 e a distanza finita, e che senza scapito della generalità, si possono supporre 

 ridotti ai punti -J- 1 e — 1. 

 « Essendo 



(2) lim jJw+l( f =x*-l, 



«= oo Pn \X ) 



una serie della forma 



(3) 2c n p n {x) 

 dove sia 



sarà convergente assolutamente per ogni valore di x tale che sia 



\X*-1\<Q, 



e quindi pei valori di x presi nell'interno di una cassinoide coi fuochi ± 1. 

 Giungiamo così al seguente risultato: 



«I campi di convergenza delle serie di funzioni p n (x) 

 sono limitati da un sistema di cassinoidi omofocali. 



« Paragonando la serie (3) colla 



si scorge che secondochè questa converge in un cerchio di raggio minore, 

 maggiore o eguale all'unità, la (3) converge in una cassinoide a due ovali, 

 ad un'ovale sola o in una lemniscata. 



e 2. Si può dimostrare senza difficoltà che il rapporto tende uni- 



Pn 



formemente al suo limite x 2 — 1, e come conseguenza si può ricavare la con- 

 vergenza in egual grado della serie (3) nell'interno del proprio campo di con- 

 vergenza. Ne risulta che in questo campo, se connesso, la serie (3) rappre- 

 senta una funzione analitica monogena ; ma se non connesso — cassinoide a 

 due ovali o lemniscata — la stessa serie può rappresentare due diverse fun- 

 zioni analitiche. 



Rendiconti. 1889, Vol. V, 1° Sem. 2 



