ma variano per la legge stessa, quando queste si mutino. Così costituiscono 

 un sistema semplice le componenti di un vettore secondo le direzioni delle 

 linee coordinate ; un sistema doppio le componenti delle pressioni su tre ele- 

 menti ortogonali di superfìcie nella teoria della elasticità, e i cofficienti di 

 conduttività di un corpo nella teoria analitica del, calore ; un sistema m. upl ° 

 le derivate di ordine m di una funzione rispetto alle variabili indipendenti. 

 Per m — o il sistema consta di una sola funzione, che si può anche chia- 

 mare un sistema elementare, e un invariante, se essa non muta col mu- 

 tare delle variabili indipendenti, come una qualunque funzione di punto nel 

 senso di Lamé, un vettore, un parametro differenziale ecc. 



« Esporrò qui brevemente e in vista di applicazioni, che saranno oggetto 

 di communicazioni ulteriori, le definizioni ed alcune proprietà importanti di 

 certi speciali sistemi. 



« Si abbia una forma differenziale quadratica ad n variabili 

 5P* = 2 rs a rs dx r dx s (') 

 essenzialmente positiva nel campo, a cui si intende estesa la variabilità 

 delle x . I coefficienti a rs di questa forma costituiscono un sistema doppio 

 ad n variabili, la cui composizione dipende dalla scelta di queste, se come 

 faremo, quando alle x si sostituiscano n nuove variabili indipendenti q , si 

 intendano sostituiti ad essi i coefficienti (a pq ) della forma trasformata, che si 

 esprimono per quelli della primitiva mediante le relazioni 



/ ^, dxr dxs 



Chiamo un sistema m. vpl ° U r r . . r ad n variabili covariante 

 al sistema a rs o alla forma y> 2 , se o pel significato, che si attribuisce alle 

 funzioni U ri r ^ . . r dipendente dalla scelta delle variabili, o per convenzione, 

 ogni volta che alle variabili x se ne sostituiscano delle altre qualunque q , 

 si sostituiscano alle stesse r „ • • r m le (U hl h 3 ■ • n m ) definite dalle equazioni 



dtjCy dw y doc 



F\ \ • • O = ^ • • r m Ur, r 2 - . r m ^ % ° ■■ ^ ■ 



«È noto ( 2 ) che, se U r rj--r è un sistema m. l ' pl ° covariante a , 



posto 



dtVg dt€y dtVi 

 — y 



dX r ^- Pq 



dì] r r •• r ™- 

 ' "1 ~2 r m-hi ri t> PI - " h'm+1't 1 7 i ' h— 1 * ' h+i it 



Q) Qualora i limiti delle sommatorie non siano espressamente indicate, queste si in- 

 tenderanno sempre estese da 1 fino ad n. 



( 2 ) Vedasi la mia Nota Sulla derivazione covariante ad una forma quadratica dif- 

 ferenziale nel voi. Ili, 1° sem., serie IV dei Eendiconti di questa Accademia. Seduta del 

 9 gennaio 1887. 



