anche il sistema (m -\- ì) pl ° U^jy • ■ r m+l è covariante a g> 2 , le quante volte 

 esso si consideri definito dalle (a) non soltanto pel sistema di variabili oc , 

 ma per un sistema qualunque di variabili indipendenti, che a queste si pos- 

 sano sostituire. Chiamo il sistema r a • • r m , primo sistema derivato dal 

 sistema ^r x r ì '-r m cov amantemente e l'operazione, per cui si passa da questo 

 a quello derivazione covariante a Evidentemente da un sistema primi- 

 tivo m. wpl ° con r successive derivazioni covarianti a <p 2 si ottiene un sistema 

 {m -j- r) 1 ^ 10 , che si dirà derivato di ordine r covariantemente a y 2 dal pri- 

 mitivo, e che sarà esso pure covariante a y 2 , se questo lo era. 



« Anche il sistema dei coefficienti della forma reciproca a g> 2 , i quali 

 indicherò con a lrs \ costituiscono un sistema doppio, in cui per la sostituzione 

 di nuove variabili q alle x si sostituiscono alle funzioni a irs) altre funzioni 

 (a (pq) ) legate a quelle dalle relazioni 



v ' do p dg q 



Con una definizione analoga a quella data pei sistemi covarianti, chiamo con- 



(T T . . T \ 



trovariante a y 2 un sistema rn. upl ° U 1 2 m ad n variabili 



le quante volte, avendo luogo la sostituzione di nuove variabili indipendenti q 



alle x , alle l/ 1 r ' ' ' Tm) si intendano sostituite le (u %1 ^ ' * hm) ) legate ad 

 esse dalle relazioni 



Ir r . . r ) / (h h . . h )\ dx r dx Tn dx r 

 TX\ 1 2 mi V 1 ( TTV i a mi I li _JL m 



Se si ha un sistema , m." pl ° U 2 m controvariante a <p 2 e si pone 



, > 1 jtt( r i r 2 " ' r m ) m , . 



'ÌS 1 



il sistema (w -J - l)- 33 * 0 U 1 2 m+ è esso pure controvariante a y 2 , le 

 quante volte esso si consideri definito dalle (/?) per qualunque sistema di 



variabili indipendenti. Chiamo il sistema U 1 2 " primo sistema deri- 



(TV . . V \ 



vaio dal sistema U m controvariantemente a y> 2 . S' intende di per sè 



quale sia la definizione del sistema derivato di ordine r controvariantemente 



( T T ■ • T \ 



a (p 2 da un primitivo U 1 2 ' , e come un tal sistema (m -j- r).™? 10 sia 

 controvariante a y 2 , se lo. era il primitivo. 



« Da un sistema m. ìipl ° JJ r r. i ..r m covariante se ne può sempre dedurre 

 un altro pure m. upl ° controvariante a (p 2 e viceversa, ponendo 



/ r i » 2 • • 7 »t ' 1 ' 2 * 'm 



