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ovvero 



ir . . TT y TT (9 , i« , 2 --M 



Due sistemi m. wpli legati fra loro da relazioni della forma (1) od (]') si 

 diranno reciproci rispetto alla forma differenziale y 2 . Dalle (1) od (1') fa- 

 cendo uso delle (a) e (/5) si traggono le 



U — 2 a a a U (M! " Wl) 



le quali dimostrano il seguente 



«Teorema 1°: Dato un sistema m. upl ° ad n variabil 

 covariante ad una forma differenziale quadratica 



cp — cty§ doCy (Lx§ 

 i sistemi derivati di uno stesso ordine qualunque da esso 

 covariantemente e dal suo reciproco controvariantemente 

 a, (p 2 sono reciproci fra di loro. 



« Per mezzo delle (a) si verifica pure facilmente l'esattezza del 



«Teorema 2°: Il primo sistema e quindi tutti i sistemi 

 derivati covariantemente ad una forma differenziale qua- 

 dratica dal sistema doppio, che risulta dei suoi coeffi- 

 cienti sono identicamente nulli. 



« Avendosi le identità 



a?s — ■ a?p a$q cfóv** 



1 sistemi a rs ed a (pq) sono reciproci. Da questa osservazione e dai teoremi 

 1° e 2° si deduce il 



« Teorema 3°. I sistemi derivati controvariantemente ad 

 una forma differenzi ài e quadratica y> 2 dal sistema doppio 

 dei coefficienti della sua forma reciproca sono tutti iden- 

 ticamente nulli. 



« Se si pone 



aih,gh ^ ^ -p -^rs d \aiii,r &hg,s #j'<7,j- #7tft,sJ 



e si costruisce il secondo sistema IL r derivato covariantemente a <i> 2 

 da un sistema (m — 2). pl ° U ri ,- 2 . . r si trovano (*) 



2 ) TX*, v* v y v v v — 



' ' i ' 2 • • ' m ì ' 2 ' • ' m— 2 ' m ' m—i 



m— 2 



= Z. m a (pq) 2.» ^pr h ,r m _ l r m Ur, . . r h _ t qr k+l . . r m _ 2 ■ 



Considerando anche il sistema U ( ?1 ? " ' ' ? " 1-2 ^ reciproco ad TJ rj r , . . r s e 



(!) Vedasi la mia Nota citata. 



