costruendo coll'aiuto del teorema 3° il secondo sistema j]^ lll2 " qm ^ derivato- 

 da esso controvariantemente a y 2 , dalle (2) si giunge facilmente alle 



2'^ XJ^ 1 r2 ' ' r,n ^ TJ^*" 1 f 2 " r,H ~ ""^ m ~ 



m—i 



— V 1 r ™ S ) S r ™~i 1 ) V J r ** ) _ TT ( r t ■ ■ r h-i V+n ■ ■ r m-2 ) 

 ' pqxt tt U / h U> Upq,st u 



1 



che per lo stesso teorema 3° valgono per il sistema derivato di 2° ordine con- 

 trovariantemente a una forma differenziale y> 2 da un sistema qualunque ad 

 n variabili. 



« Dalle (2) e (2') deduciamo la seconda parte del teorema seguente (di 

 cui la prima parte è evidente), ricordando che l'annullarsi dei coefficienti 

 Oih,gh è la condizione necessaria e sufficiente perchè la varietà di elemento 

 lineare y 2 sia piana. 



«Teorema 4°: Le operazioni di derivazione covariante e 

 controvariante ad una forma differenziale quadratica^» 2 go- 

 dono sempre della proprietà distributiva: esse godono ge- 

 neralmente della proprietà confutativa soltanto nel caso 

 che la varietà, di cui <f rappresenta l'elemento lineare, sia 

 piana. 



« Con una semplice applicazione delle («) e delle (/?) si dimostrano pure 

 i seguenti teoremi 



«Teorema 5°: Se mediante due sistemi di cui uno j/" U r r ,. 



e l'altro (m — i). pl0 XJ r . r . .. r si costruisce un sistema m.^ l °- 

 e si indicano con U r r ,, r . , TJ r . »•.„.. r , U r r . . r i p r i m i 



' i ' 2 • • ' i+i 1 i-t-i i+2 ' m + i 1 ' 1 ' 2 • 1 'm-t-i r 



sistemi derivati rispettivamente da essi covariantemente 

 ad una forma differenziale <f> 2 si ha 



Ur, r, ■ • r m+1 = Ur, r 2 . . r c U r . +l . . r m+t + Ur i+I . . r m Uy, r t ■ . r L r m+l ■ 



«Teorema 6°: Se mediante due sistemi, di cui uno 

 jj( r t r 2- r i) e i' a i tr0 ( m _ ^jno uC.^+i •• r «0 gi costruisce un nuovo 

 sistema m."® 10 



e si indicano con L ,U , U ì si- 



stemi derivati da essi controvariantemente ad una forma 

 differenziale y 2 si ha 



-jj( r i r 2 • • r m+i ) jj( r i r 2 ■ • r i) jj( r i+i r i+t • ' r m-¥\ jj( 'i-M r i+2 • • r m) jj( r i r t • ■ r i r m+i) 



« L'analogia di questi due teoremi con quello relativo alla derivazione 

 volgare dei prodotti è evidente. 



