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« Se il sistema primitivo, da cui si parte, è una funzione di punto, 

 questa costituisce un sistema elementare, che può riguardarsi tanto come cova- 

 riante che come controvariante ad una forma differenziale qualunque q> 2 ad 

 n variabili, se n è il numero delle variabili, da cui la funzione dipende. 

 Allora i sistemi derivati da essa covariantemente a <p 2 sono quelli delle deri- 

 vate covarianti della funzione stessa, delle quali mi occupai nella mia Nota 

 più volte citata. Si chiameranno in vece derivate controvarianti di una fun- 

 zione ad n variabili gli elementi dei sistemi derivati dalla funzione stessa 

 controvariantemente a y 2 , che non saranno altro che i sistemi reciproci di 

 quelli delle derivate covarianti. Le derivate di uno stesso ordine m covarianti 

 o controvarianti costituiscono il sistema m.^ 10 corrispondente. Farò ancora 

 notare che, come per le derivate seconde U rs di una funzione U covarianti 

 a (p 2 si ha a tenore della Nota citata 



qualunque sia la varietà, il cui elemento lineare è rappresentato da y> , così 

 si ha pure per le derivate controvarianti TJ (rs) 



« È opportuno stabilire le seguenti convenzioni. Quando si abbia una 

 forma differenziale quadratica y 2 ogni sistema m?® 10 covariante ad essa si in- 

 dicherà con una lettera affetta da m indici in basso, ed il sistema (m -j- 

 derivato da esso covariantemente a <p 2 colla stessa lettera munita di m-\-i 

 indici in basso, gli ultimi i essendo appunto quelli dovuti alle successive 

 derivazioni covarianti applicate al sistema m. upl °. Convenzioni analoghe var- 

 ranno per i sistemi controvarianti, colla sola differenza che gli indici si por- 

 ranno in alto invece che in basso. Si passerà poi da un sistema covariante 

 o controvariante al suo reciproco rispetto alla forma, che si considera sem- 

 plicemente col trasportare gli indici dal basso all'alto o viceversa, così che i 



IT . . T ) 



simboli U ri . . r m JJ , 1 rappresenteranno due sistemi reciproci, di cui il 

 1° covariante ed il secondo controvariante a (p 2 . 



« Con queste convenzioni da ogni teorema relativo a sistemi della na- 

 tura di quelli qui considerati, se ne può dedurre un altro reciproco sempli- 

 cemente portando nelle formule relative gli indici dall'alto in basso e vice- 

 versa e negli enunciati scambiando fra loro le parole covariante e controva- 

 riante. Così il sistema quadruplo am , g* essendo notoriamente covariante a y 2 

 se in luogo di esso nelle (2') si introduce il suo reciproco, si vede subito 

 come esse enuncino il teorema reciproco di quello enunciato dalle (2). Nello 

 stesso modo al teorema e ad ognuno dei corollari seguenti ne corrisponde 

 uno reciproco, il cui enunciato si otterrà nel modo indicato sopra e sarà qui 

 omesso per brevità. 



Rendiconti. 1889, Vol. V, 1° Sem. 16 



