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se ad ogni possibile iperspazio S r entro S„, avente una certa direzione (') 

 corrisponderà un valore di <p. Questa dipendenza si denoterà col sim- 

 bolo 9 = 9>|[S r ]|. Supporremo di considerare sempre degli iperspazi chiusi. 

 Scelto un punto P di S r si conduca per esso un iperspazio S„_ r normale ad S r 

 ed in Sn-^ si prenda un intorno s di P. Facciamo percorrere a P tutti i 

 punti di S r ; avremo che s genererà una porzione di spazio ad n dimensioni 

 che si chiamerà un intorno di S r . Consideriamo un punto P' di s : mentre P 

 descrive S r , P' descriverà un nuovo iperspazio SV che si dirà appartenere 

 all'intorno di S r . La funzione <p |[S r ]| sarà continua se, preso un numero 

 piccolo ad arbitrio, si potrà trovare un intorno di S r , tale che 



mod [y[[SV]| — y|[S r ]|]<tf 



appartenendo SV all'intorno scelto. Oltre alla continuità di <p][S r ]| ammet- 

 teremo soddisfatta la seguente condizione. Si passi dall'iperspazio S r all'iper- 

 spazio SV dando ad ogni punto di S r uno spostamento e variabile con con- 

 tinuità da punto a punto. Il luogo degli intervalli £ è un iperspazio ad r-f- 1 

 dimensioni di ampiezza <r. 



«Ammetteremo che si possa rendere mod [sp|[S' r ]| — <p|[S r ]|] minore 

 di un numero scelto ad arbitrio, purché e sia minore di un certo valore <r 0 . 

 « 4. Ciò premesso, preso in S r un intorno s di un punto P, diamo ad s 



(') La parola direzione attribuita ad un iperspazio va intesa nel modo seguente. Un 

 iperspazio (ad n dimensioni) è caratterizzato dalla varietà di valori di n variabili indipen- 

 denti x u <6t .v . x n . Un iperspazio S r ad r dimensioni (r O) in esso immerso corrisponde 

 alla varietà di valori che assumono le Xi , Xi . . . x n , quando esse sono legate fra loro 

 da n — r relazioni indipendenti, ovvero quando esse dipendono da r variabili indipen- 

 denti a»i, w 2 , . . . io r a cui sono legate da n relazioni 



%i — Xi (wj, (o 2 , . • ■ w r ) i = 1, 2 . . .n. 



Ammessa la differenziabilità delle precedenti relazioni formiamo la matrice 





^<#2 











ìx t 



>X 2 





x 5 





ì>P>r 



Sia J 2 il quadrato di questa matrice ; ammetteremo che esso sia tale che fissato in un punto 

 il segno di J, il segno stesso, per la continuità, resti fissato in tutti i punti. Quando si sarà 

 stabilito il segno di J, si dirà che si è stabilita la direzione dell'iperspazio S r . La quan- 

 tità d S = Jdu> 1 du 2 . . . d(D r si dirà V elemento dell'iperspazio. Prendiamo un determinante 

 minore della matrice 



TiXì ~àXì 



J. . . _^ = fc ! .... '— 



n • *~ ^ '1 ^2 * * * ^J* 



e lormiamo » a . . , if = . Le ce^ i 2 . ..i r non muteranno sostituendo alle 



«t>r altre variabili legate alle prime da relazioni qualunque, e il segno delle « 



i 



