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uno spostamento di ampiezza Sxì parallelamente ad xi. Denotiamo con S<p 

 ìa variazione corrispondente di ty. 

 * Supporremo che esista 



lim ^ = <p' x . (i = 1,2 ... n). 



Chiameremo (p' x . la derivata di y> rispetto ad Xi nel punto P relativa ad S» 

 Ammettendo che il rapporto che comparisce nel primo membro della equa- 

 zione precedente tenda uniformemente verso il suo limite, rispetto a tutti i 

 possibili punti P ed iperspazi S r , e ammettendo inoltre che questo limite 

 sia continuo, si ha facilmente che, dando ad ogni punto di S r uno sposta- 

 mento resultante di Sx lt dx 2 . . . àx n la variazione corrispondente di y> è data, 

 a meno di infinitesimi d'ordine superiore alle óxt, da 



« Le y' x . debbono soddisfare alla condizione che per tutti quei sistemi 

 di spostamenti èxi che portano lo spazio S r in sè stesso, óy> deve resultare 

 nullo. Mediante questa osservazione si trova che le (f>' x . possono esprimersi 

 mediante dei parametri 2 ?i ?2 . . . ^ che soddisfano alla condizione di cam- 

 biar segno per ogni trasposizione degli indici, nella maniera seguente: 



(2) V a>f= 2 q X- h qi ... g r a rji ... 



in cui 2 q è estesa a tutte le combinazioni degli indici q x ...q r e « ?1?2 ... ?r 

 sono i coseni di direzione dell'iperspazio S r . I parametri X qi . . . q , oltre a 

 dipendere dall'iperspazio S r , dipendono anche dal punto in cui si prende la 

 derivata. 



« 5. Siano S' r e S r " due iperspazi aventi una porzione s a comune, la 

 cui direzione sia differente, secondochè si ritiene appartenente al primo o al 



cambierà mutando la direzione dell' iperspazio : esse si chiameranno i coseni di direzione 

 dell'iperspazio, e soddisfaranno alle relazioni seguenti 



Xi« 2 h i 2 ...;,= l 

 « — i-i 



«<, i 2 . . . t s _! i s+1 . . . i r+1 "i s K...h r = 0 



in cui 2'i è una somma estesa a tutte le combinazioni degli indici i t u . . . i r ■ Se uno 

 spazio S»- r ad n — r dimensioni ha i coseni ... K n e in un punto comune con S r 

 si ha «i . . i r = . . h n . , essendo tutte le i differenti dalle h e la serie di numeri 

 U ... i r hi... hn—r una permutazione sempre pari o sempre dispari dei numeri 1 . 2 . . . n , 

 si dirà che i due iperspazi S r e S n - r sono fra loro normali. 



