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di Stokes al caso degli iperspazi. Una tale estensione si ottiene senza dif- 

 ficoltà. Siano 1iì- ì ..ì delle funzioni dei punti di un iperspazio S„ finite 

 e continue insieme allè loro derivate prime e tali che ogni trasposizione degli 

 indici ne muti il segno. 

 « Si formi 



M^, f2 ... w -I s (-l) s - 1 -^- r 



s— 1 s-l-1 ' • " "r-4-i 



s 



« Denotiamo con S r il contorno di un iperspazio S r+1 ad r -{- 1 dimen- 

 sioni aperto ed immerso in S n ; con i coseni di direzione di S r+1 

 e con # t j 2 . . . j quelli di S r . 



« La estensione del teorema di Stokes consiste nella formula seguente 



Mj t i 2 . . . j «i i i 2 . . . rfS r+1 — l — j lti t i 4 ... i r i a .... i r fl^v 



Così stabilita questa formula fondamentale, se ne deduce che le condizioni 

 necessarie e sufficienti a cui debbono soddisfare le derivate di una funzione 

 di primo grado g>|[S r ]| sono le seguenti: 



Z/C-l)*- 1 — : = 0. 



l ~ÒXi s 1) (X^ . . . Xi^Xi^ . . . Xi r+ì ) 



Queste condizioni si chiameranno le condizioni di integrabilità a cui deb- 

 bono soddisfare le derivate di una funzione di primo grado. 



« 7. Adottiamo il simbolo | j^ 1 ^ 2 "• ^ n ì p er denotare il determinante 



CO i OC \ OC 2 ••* &n ) 



funzionale delle variabili y rispetto alle variabili x . Le formule relative ad 

 un cambiamento di variabili per le funzioni di iperspazi possono allora 

 scriversi 



~ò (A x' K ... x' K+l ) ~ 1 | (x h x K ... x Wi ) d (x' hi x\ ... x\ r+t ) ' 



» 8. Passiamo ora ad estendere alle funzioni di iperspazi il concetto fon- 

 damentale della monogeneità. A tal fine basterà considerare due funzioni 

 / e cp complesse e di primo grado degli iperspazi S r immersi in S„, tali 

 che in un punto P qualunque dell' iperspazio totale S n , il rapporto 



d(f df 

 dSf-i- 1 dS r+ 1 



dipenda da P soltanto. Il collegamento fra le due funzioni /' e y espresso 

 dalla precedente condizione si dirà un collegamento di isogeneità o altri- 

 menti si diranno isogene le due variabili complesse / e <p. 



