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« Spostiamo ora i vari punti portando in (xì -f- Si) quello che trovasi 

 in (xì) , e colla condizione che le Si sieno quantità infinitamente piccole. 

 L'elemento lineare ds subirà l'allungamento S ds dato dalla equazione: 



2 ^ = S m [afa S. + a u S* + a M Bfl dtC ' 



ossia, ponendo 



(4) 2X hh = Si {a% Si + a u 8$ + a u S/ 1 ) 



dalla equazione 



^' W£ /!?£ rfs ds 



« Se con (s , Xi +1 Xi +2 ) si indica l'angolo che la direzione ds fa col piano 

 tangente alla superfìcie Xì = cost , ove si deve intendere di rimpiazzare gli 

 indici maggiori di 3 col resto della loro divisione per 3 o con 3 se questo 

 resto è zero, si ha 



■j/a hh . dx h _ sen (s , x h+l x h + 2 ) _ 

 ds sen (x h , x h+1 x h+ì ) 



-chiamando X. h il secondo membro di questa equazione, si vede che le .quan- 

 tità /»! , A 2 , X 3 definiscono la direzione dell'elemento ds e la (5) può allora 

 scriversi così: 



ra\ àds l-Kk , -, . 



(O) — = -Zhk , *-h H , 



as Va hh a kk 



messa sotto questa forma si rende manifesto che come coefficienti della dila- 

 tazione si possono assumere tanto le X hli , quanto (come vien fatto comune- 

 mente) le funzioni ^ hli ; noi adotteremo come coefficienti della dilata- 

 li &hh CLkTi 



aione le X hli . 



« Dalle (4) si ha 



2X\ k = S t (a il m Si + d m S/ + a\i S t " + a l Hi S* + a M a M S/' 1 ) 



e se si pone, analogamente alla (2), 



Xm,i = X\i -j- X h ld — X l h]l , 



si otterrà 



l hU = Si ) au 8i hh -f- Si a%i -f- Sì a hU -f- Si" a u ,i + ®ì K m,i { , 



donde 



(7) S m hh = Si c m l m ,i — 2® Omi [S, a\^i + S^ awj + ^ + S£ 4ì,j] • 



« Se le rappresentano effettivamente i coefficienti di una deformazione, 

 le componenti S; degli spostamenti corrispondenti si otterranno integrando il 

 sistema delle 15 equazioni (4) e (7), le quali sono risolute rispetto alle deri- 

 vate seconde delle funzioni incognite. Questo sistema avrà per soluzione un 

 sistema di tre funzioni con 6 costanti arbitrarie allora e soltanto allora ( l ) 

 quando non si possa dal sistema (7) dedurre per mezzo di derivazioni ed 

 eliminazioni nessuna equazione del primo ordine per le S che non sia conse- 



( J ) Vedasi Lie S., Theorie der Transformationsgruppen, Kap 10. Leipzig 1888. 



