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equazioni distinte e le S verranno determinate dalle (4) e (7) a meno di sei 

 costanti arbitrarie soltanto quando le (9) o sienq identicamente soddisfatte 

 o sieno una conseguenza delle (4). 



« Quando lo spazio considerato sia euclideo le quantità a rs ,uv sono tutte 

 nulle, e conseguentemente possiamo dire che nello spazio euclideo sei 

 funzioni hu(hk = hh) rappresentano i coefficienti di una de- 

 formazione se soddisfano le equazioni 



(9 a ) &hk,u ^hj,u ~f~ C TW (^wfc,t< CLhj,w ~\~ ^-hj,w #i<ft,i> #7tft,w; ^Kh,w^uj,v) 



^rsvw ^rs Crw <?su (#/ifc,u &uj,w #7y',f #fci(,w) == 0 



ed i corrispondenti spostamenti sono allora determinati a 

 meno di sei costanti arbitrarie. 



« Se l'elemento ha la forma dx 2 -j- dx 2 2 -j- dx 3 2 , le (9 a ) coincidono colle 

 note equazioni condizionali date dal Kirchhoff nella 27 a delle sue Vorlesungen 

 i'iber mathematische Physik. 



« In generale, se le (9) devono essere conseguenza delle (4), dovrà essere 

 possibile determinare sei sistemi di coefficienti A hll , B hli , C Wf , D W£ , E m „ F hlì 

 tali che moltiplicando per essi le (4) e sommando ogni volta si trovi una 

 delle (9). Stabilita la proporzionalità fra i coefficienti delle S e delle loro 

 derivate nelle equazioni (9) ed in quelle, che così si ottengono, si riconosce 



che questa condizione equivale all'altra che, posto /? rs = r ~ > " 1 r ~ 1 " 2 ' 5+1 s+2 ' 



ce 



sieno verificate le relazioni 



qq^ Al ^22 /?33 ffl2 ^13 /?23 



Cu Ci% C33 C12 C13 #23 



Supposto che queste equazioni sieno soddisfatte, i valori delle , , ecc. 

 sono determinati completamente in funzione delle a hìi e loro derivate, e le 

 equazioni di condizione per le funzioni X si ottengono uguagliando i primi 

 membri delle sei equazioni (9 a ) a 2À. m X hlt , 2B hk X m , ecc. rispettivamente. 



« Quando lo spazio è a curvatura costante positiva K = —-, posto l'ele- 

 mento lineare sotto la forma 



7 , &X\ -f- dxì 1 4- dx 2 

 ds 2 = - -— . 



(^l 2 + ^2 2 +^3 2 +^2-j 



si riconosce subito che le (10) sono soddisfatte, perchè allora si ha 



#12,31 == #23,12 == #31,23 — — 0 ? #12,12 == #13,13 '— #23,23 



e lo stesso accade se lo spazio è a curvatila costante negativa K — — — , 



quando si prenda l'elemento lineare sotto la forma 



a 2 



ds 2 — — - {dx 2 -f- dXì -f- dx 3 2 ) ; 



X3 



Rendiconti. 1889, Vol. V, 1° Sem. 24 



