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ma la condizione espressa dalle (10) è invariantiva, poiché tanto i numera- 

 tori quanto i denominatori di quelle frazioni sono coefficienti di una forma 

 quadratica controvariante alla (1), quindi, dimostrato ch'esse valgono per una 

 forma speciale dell'elemento lineare, resulta ch'esse valgono per qualsiasi altro 

 sistema di coordinate. Vediamo dunque che anche negli spazi a curvatura 

 costante i coefficienti di deformazione determinano gli spostamenti a meno 

 di sei costanti arbitrarie. 



« Se le (9) non sono una conseguenza delle (4) e sono tutte fra loro 

 distinte, si ricaveranno dalle (4) e dalle (9) le Sj e le S/ 1 in funzione 

 delle A e delle am e si otterranno le equazioni di condizione per le X espri- 

 mendo che la funzione che da è effettivamente la derivata rapporto 

 ad Xu di quella, che definisce Sj. Queste equazioni di condizione sono in gene- 

 rale 9 e gli spostamenti vengono allora completamente determinati. Nei casi 

 intermedi, quando cioè o le (9) non son tutte fra loro distinte, o soltanto in 

 parte sono conseguenze delle (4), le Sj vengono determinate a meno di un 

 numero di costanti arbitrarie minore di sei » . 



Matematica. — Sopra una classe di equazioni differenziali 

 a derivate parziali di ordine m. Nota del prof. A. Tonelli, pre- 

 sentata dal Corrispondente Y. Cerruti. 



« I risultati ottenuti in due mie precedenti Note pubblicate in questi 

 Rendiconti e relative ad equazioni differenziali a derivate parziali del 2° e 

 del 3° ordine, possono estendersi alle equazioni differenziali a derivate par- 

 ziali di forma analoga e di ordine qualunque. 



<f Prendasi per questo a considerare l'equazione differenziale di ordine m: 



a ) y y +P « y —^— + ... + 



a. ...a 



m-~\ 



+ p s w y y * , + ... + p; to) y + pf* = m 



<X[...a s a, 



dove gl'indici a x , a 2 ,.., a m assumono tutti i valori da 1 ad n, e i coef- 

 ficienti P^li , . . , P(. m> , . . , P<, m) , M, sono funzioni delle sole variabili indi- 

 pendenti Xi, x 2 , . . , x n ; e si osservi che può scriversi nel seguente modo : 



(a) "Vy i $ y y- 1 , pon-p y + ... + 



a l \<x 2 ...a m a 2"" a »i_i 



M 



