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assumerà la forma 



~~\ m 7, X — ->m— iV 

 o Lim—\ ir, X ù ^m—l 



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a, 



« L'ordine di questa equazione differenziale si riduce di una unità quando 

 sia soddisfatta la relazione 



la quale corrisponderà ad un caso di riduzione della (1), perchè l'integrale 

 di questa equazione, per mezzo della (8), si ottiene immediatamente non 

 appena siasi integrata la (9). Ad ognuno di questi casi di riducibilità cor- 

 rispondono infinite equazioni della forma (1), la cui integrazione si riduce a 

 quella di una equazione differenziale della medesima forma di ordine inferiore 

 di una unità. Ripetendo il processo ora adoperato, potremo ottenere tanti 

 casi di riducibilità quanti se ne vuole. 



« 3. È chiaro però che ad ognuno di questi casi corrisponde una rela- 

 zione diversa, che deve via via determinarsi e la cui forma si va facendo 

 più complicata: per cui non sarà del tutto inutile stabilire una relazione 

 unica, anàloga alla (5), a cui corrispondano infiniti casi di riducibilità della (1), 

 per la presenza di una funzione arbitraria. In questo modo poi ci verrà fatto 

 anche di mostrare che la integrazione generale della (1) dipende dalla ricerca 

 di certe soluzioni particolari, appartenenti a delle equazioni differenziali a 

 derivate parziali, i cui coefficienti sono funzioni dei coefficienti della (1). 



« Per raggiungere lo scopo che ci prefiggiamo è necessario però di fare 

 prima una osservazione. 



« Nelle due note sopra ricordate e relative ad equazioni differenziali della 

 forma (1), ma del 2° e del 3° ordine, si dimostra che le espressioni diffe- 

 renziali 



Y-^— +pV-^ + q, 



J — — +E y^^ +S y^-+T 2 



l)Xa. i l)Xci> 2 l!X<x. 3 ~^~ì>Xa l ~òXa. ì J ^^~^^ a -i 



<x,a 2 a 3 1 2 1 



dove P, Q, E, S, T sono funzioni delle sole variabili indipendenti x u x 2 ,--, 

 x n , quando si ponga 



~òXtx. 



