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si trasformano nelle seguenti 



: — £ — +Rl y^!^_ +Si y^£_ +T j 



( ' "ì)^ai "3^ao^^a q r "S^/q. Biffa» r B«ffq, ) 



dove Pi , E x sono funzioni razionali intere di u ; le Qi , Si funzioni razionali 



^ — "ÒZI 



intere di u e di > ; e finalmente Ti funzione razionale intera di u, 



< n Beffa, 

 «i 1 



di > ~- e di > — — . Ciò premesso io voglio dimostrare che 



< Btffa 1 Biffa. Biffa» 



a, 1 ai 1 ì 



l'espressione differenziale di ordine m 



«■ì^'^m — 1 



__ B^t-'a, • ••Biffa. ~ ^~ ^ Biffa. ~ ^~ 



<Xi...a s 1 s a t 



adoperando la medesima sostituzione, si trasforma nell'altra 



v\ y — — — y — — — +- 



( Biffai •••Biffa™ Biffa, •••Beffa™—, 



— Beffa, • ••Beffas . Beffa. ; 



dove i coefficienti B sono tali che, in generale, B s è funzione razionale intera di 



< Biffa. < Beffa, • ••Beffa„,_™, 



a t 1 a!...am— s_i 1 »» <. 1 



Perchè ciò risulti rigorosamente dimostrato, dopo l'osservazione fatta per le 

 espressioni differenziali del 2° e del 3° ordine, basterà far vedere che so è 

 vero per una espressione differenziale di ordine m, lo è pure per una espres- 

 sione differenziale di ordine m-\-l. 



« Una espressione differenziale della medesima forma di quelle consi- 

 derate fin qui e di ordine m-\-l, si può scrivere, per ciò che si è detto in 

 principio di questa nota, nel seguente modo: 



y^M y , ^ + c - y T^^f- + - 



_ fìXa, I oXa, • •• vXa., oXa„ ... oXa 



a \ a ... a m-t-i a ... a m 



i 2 "• m+i 2 •" m 



^ Beffa., ••• Beffa , . ^ Beffa, \~^~ 



a .. a s+1 a ' 



^2 ••• S+l 2 



e, dopo aver posto 



Cs 



