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« Ma l' integrazione della (10), da cui dipende quella della (1), si ri- 

 duce subito all' integrazione di una equazione differenziale della medesima 

 forma e di ordine m — 1, quando sia verificata la relazione 



(ii) q 0 _ y ^Q' _j_ V 7)2 Q 2 _j ^ (_i)»»-iy "y"~ x Qw-i _ 0 



a, 1 a t a 2 1 2 a,. ..!*,»_, 1 m ~ 1 



che comprende infiniti casi di riduzione a causa della presenza della firn-, 

 zione u, cui può assegnarsi una. forma arbitraria, alla quale corrisponderà 

 una espressione per rj, che si ottiene con semplici quadrature. 



« 4. Ma la (11) può anche considerarsi come una equazione differenziale 

 a derivate parziali in u, di ordine m — 1, essendo il primo membro una 

 funzione razionale intera di 



u v ~* u , , x - y- 1 u 



«i 1 <*i-a m _i 1 w_1 



e quando si riescisse ad integrarla, od anche solo a determinare una sua so- 

 luzione particolare, sarebbe risoluto il problema dell'abbassamento di una 

 unità nell'ordine della (10) ovvero della (1). Supponendo ora che, per otte- 

 nere l'integrale generale di una equazione differenziale a derivate parziali 

 della stessa forma della (1) e di ordine m — 1, basti la determinazione 

 di m — 2 soluzioni particolari, appartenenti, rispettivamente, ad altrettante 

 equazioni differenziali degli ordini m — 2, m — 3, ..,2, 1 ed osservando che ciò è 

 vero per le equazioni differenziali della forma (1) corrispondenti ad m = 2 

 ed m = S; ricordando quanto si è detto a proposito della (11), potremo 

 enunciare il seguente 



Teorema: L'integrazione di una equazione differenziale a de- 

 rivate parziali di ordine m e della forma (1), si può far 

 dipendere dalla ricerca di ni — 1 soluzioni particolari, 

 appartenenti, rispettivamente, ad altrettante equazioni 

 differenziali degli ordini m — 1, m — 2,..., 2, 1, i cui 

 coefficienti sono funzioni dei coefficienti della (1). L'ultima 

 poi di queste equazioni differenziali a derivate parziali, 

 cioè quella del primo ordine, si riduce subito ad una 

 equazione differenziale a derivate ordinarie della forma 



^r- = a 4- bu -\- u 2 . 



da 



« 5. Prima di terminare lo studio delle equazioni differenziali della 

 forma (1), si può fare una ultima considerazione. Chiamiamo in generale Z m 

 una espressione differenziale della forma di quella che rappresenta il primo 

 membro della (1); avremo allora, per quanto si è già detto 



7) 



Z M - 1 + P (W - 1, ^ = M 



