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« D' altra parte, derivando parzialmente la (2) rispetto ad 



si ha 



( /"(y)?- =— /"(*0, 



\ T>Xx n 1 v ' 



(4) i 



« Sommando queste relazioni e tenendo conto delle (2) si ha l'equazione 

 differenziale 



(5) 3>L + 3!!L + ... + j!!L = 1ì 



alla quale del resto, come è noto, deve soddisfare qualsiasi funzione y di » 

 variabili indipendenti, quando, come qui si è ammesso, per un incremento 

 uguale dato a tutte le variabili, la y debba pure subire lo stesso incremento. 



« Derivando la prima delle (4) dapprima rispetto ad X\ , poi rispetto 

 ad x s (s diverso da 1) si ha 



* Sommando la (6) colle n — 1 equazioni che si ottengono dalla (7) 

 col porvi successivamente x = 2, 3, ... », si ha, in forza delle (5): 



rwg+r (4i=|r <*.)• 



« Il coefficiente di f (y) è nullo : esso è infatti la derivata parziale del 

 primo membro della (5) rispetto ad x y . Si ha dunque : 



f'^ìtrì 1 '"^- 



it Eliminando fra questa equazione e la prima delle (4) abbiamo : 



~òX\ 



f" (y)_f"M 

 f'(y) f'M 



« E similmente : 



f"{y) _ f"(x\) _ f"(x t ) _f"(x n ) 



r {y) r (^i) /" (*o /" (a?) 



« E. poiché le x v , x 2 , x n sono fra loro indipendenti, queste egua- 

 glianze non possono aver luogo se non si ha : 



f" (x) 



', ; / = costante , 

 f (*) 



