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« Integrando per parti 



/~» U • fu 



I • ' U n il 1 



e -nu u n-l fa = — e -nu I _ l & -nu yn fa 



n 1 n 



(3) ! Uo Uo 



\ /"*u 



e- nu u n du = — r-r + — nr I e~ nn u n+l du , 



e così di seguito. Indicando con I il primo membro della (2), si ha per- 

 tanto, in virtù delle (3) 



o—nu ! ,.n 



e \n -}- 1 n-\-l • n-\-2~ r ~ n-\-l • n-{-2 • n-\-S~ t ' 



(4) i l n n n un+P ~ l )\ 



v * ^ n+1 • n-\-2 n-\-p — 2 • n-\-p — ly 



+ - —7-7 — ~77 ... — j — r \ e~ nu u n+ v~' du . 



c ■ n-f-l ■ n — 2 n-\-p — lj 



« Se nel 2° membro di queste formole si continua indefinitamente la 

 sostituzione successiva par mezzo di formole analoghe alle (3), questo se- 

 condo membro si trasforma in una serie, la quale è sempre convergente per 

 qualsiasi valore finito di u ■ Il resto della serie dopo p termini è 



In n . .T ' ■ n C 



— r —r^r ... —. <r™ U n+ ^ du 



c n-\- \ ■ n-\-2 ■ n -\-p — 1 j 

 dove (essendo n ed u sempre positivi) l'integrale è minore di 



u n+p 



u' 1 ^- 1 du 



>0 



Il detto resto è dunque minore del (p -f- l) esimo termine della serie molti- 

 plicato per e nu . 



« Ponendo in particolare nelle (2) (4) 3 = 0 e quindi u = 1 si ha 



j e - n (e *-V dz = — e~ nu u 71 - 1 du == 



ne { ^ w -j- 1 ^ (« + 1) {ri'-j- 2) ^ '" ^ r in+l)(n+2)...(n+j)) ~ "')' 

 « 3°. L'integrale 



I = e -n(e"-cz) fa 



kJ— 00 



può ancora ottenersi mediante un altro sviluppo. Si ha, integrando per parti : 



^«-1 fa __ g_m» I 1 r »« M «-2 fa 



n ' n ) 



r°° i n— 2 r°° 



<r nu u* 1 - 2 du = — e~ nu u ,l ~ 2 -\ e~ nH it n ~ 3 du , 



n n } 



