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« 2. Denotiamo con H^^... i r 2 i primi membri delle equazioni (4). È 

 facile dimostrare il teorema : 



« Se oltre alle condizioni di integrabilità 



s 



le ^ soddisfano alle^altre condizioni 



( 5 ) . (— \ - ^ - w. = 0 ' 



il sistema di equazioni differenziali 



è un sistema completo. 



« La dimostrazione si fa osservando 1°) che se o ( - \ ... j è diversa da 

 zero, tutte le equazioni (6) sono una conseguenza delle equazioni indipen- 

 denti fra loro 



(7) H; ... ; 7, = 0 , Hi . . i 7, = 0 , .... , Hj ... i h = 0 



in cui le hi , A 2 , ... ìi n - r -\ sono differenti fra loro e dalle % ; 2°) che le fun- 

 zioni alternate del Poisson 



sono identicamente eguali a zero, cioè che il sistema (7) è Jacobiano. 



« Quando sono soddisfatte le (5), la funzione F | [SJ | si chiamerà ele- 

 mentare. 



« Il sistema (6), ovvero il sistema (7), dovrà ammettere r-f-1 inte- 

 grali indipendenti 



(f, (f 2 ... (f r . 



« Ne segue che il rapporto 



6 = — 



d Q, y t ... (f r ) 



^d {xì i Xi 2 ... Xi r+1 ) 



dovrà essere indipendente dagli indici Ora, applicando la (4), 



dalla equazione precedente segue che 



^ (__1) S 1)6 d - = 0 



0 dovrà dunque essere una funzione di (p, (f x ... (p r , e posto = 0, avremo 



^ <Z(g>„, y x . . . gy) 



« Si ottengono quindi i teoremi : 

 1.° Se F|LS r ]| è una funzione elementare, si avrà 



"SF d((f 0 , <fl, - <fr) 



