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ove (pò, <Pi • j- » <Pr sono r-f-1 integrali indipendenti comuni al 

 sistema di equazioni differenziali 



^ 2 , \ 21 A 



« Reciprocamente : 



2. ° Prese r-f-1 funzioni indipendenti (p 0 ,<pi — <pr e posto 



avremo che le . ; saranno derivate di una funzione e 1 e - 

 mentare F|[S r ]|. 



3. ° Tutte le funzioni isogene ad una funzione elemen- 

 tare, sono funzioni elementari. 



« Applicando alle funzioni elementari il teorema che abbiamo dato come 

 estensione di quello di Stokes (vedi Nota prec. art. 6), otterremo per esse 

 l'espressione analitica 



F | [Sr -,| = P d(V y) ^ _ ^ ^ 



essendo 



■a?* = #i («i , «2 , ••• ù) r) (i =1,2 ... n) 



le equazioni dell' iperspazio S r . 



« Le funzioni (f 0 , </>i ... si diranno coniugate alla F. Le funzioni ele- 

 mentari godono quindi della notevole proprietà di essere le sole funzioni 

 coniugate ad un sistema di funzioni di punti, proprietà che nello spazio or- 

 dinario si verifica per tutte le funzioni di linee di primo grado. 



« 3. Alle funzioni di primo grado negli iperspazi è applicabile una spe- 

 ciale operazione di composizione di cui daremo ora un cenno. 



« Si abbiano le due funzioni F | [S r ] | , e <P\ [St-r \ | di primo grado e 

 si ponga 



^F dO> 



d{x K ...x K+i ) ~ Ph > ' d(x K+ì ...x ht+ì ) - 



( 8 ) m \~ h + * = XhP\ - V» 0Vh, 



in cui hi ... h t+2 è una permutazione sempre pari, di i x ...i t+2 e ^ è una 

 somma estesa a tutte le combinazioni dei t-{-2 indici i x ...i M r-f-1 a r-f-1. 

 Ciò premesso si può dimostrare il teorema : 



«Esiste una funzione di primo grado "*F|| [S t+ i] | tale che 



■ = m% ... i 



« Per denotare che fra le derivate delle tre funzioni F, W, passa 

 la relazione (8), scriveremo 



V = (F, 0) , 



