potrà ritenersi come una funzione di primo grado di S/, e quindi potremo 

 porre 



/Ìf = <P|[S/]|. 

 « Oltre a ciò £> ed F saranno isogene e avremo 



d® _ 



dF ' 



vale a dire le due operazioni di derivazione e di integrazione 

 nel senso considerato sono reciproche l'una all'altra. 



« 8. Una funzione elementare di iperspazi 8 r ad r dimensioni si dirà 

 d'ordine r ; e diremo poi che un sistema di funzioni elementari è un sistema 

 isogeno d'ordine p , quando tutte le funzioni di ordine eguale o superiore 

 a p che si ottengono dalle funzioni del sistema mediante l'operazione della 

 composizione (vedi art. 3) sono nulle, mentre ve ne ha di quelle d'ordine 

 p — 1 diverse da zero. Tutte le funzioni <P |[S ( ]| del sistema dovranno dipen- 

 dere da certe funzioni (fi , <j> 2 ... q k ... dei punti dell' iperspazio totale in modo 

 che (vedi art. '2) 



p<z> d (<Ph , <Ph - yvi) 



D (Xit ... %m) d (fu - fi t +ì) 



cioè 



q> ==(<Ph , <Ph - <fi M ) • 

 e Si hanno con facilità i teoremi seguenti : 



1. ° La condizione necessaria e sufficiente affinchè il 

 sistema isogeno sia d' ordine r , è che si abbia 



(14) d(9„-9, n ,) 



d (#ìi ••• ^v+i) 



per ogni possibile combinazione degli indici l 1 ...l r+1 ,i l ...i r+1 . 



2. ° Una funzione del sistema d'ordine r — 1 è sempre 

 isogena ad un'altra funzione qualunque del sistema. 



3. ° Ogni funzione del sistema d'ordine r — 1 ammette 

 come divisore un' altra funzione qualunque del sistema d' or- 

 din e inferiore. 



« Consideriamo in particolare le funzioni di punti (pi , y> 2 ... (fn ... ; esse 

 potranno considerarsi come funzioni appartenenti al sistema e di ordine zero. 

 « A cagione delle relazioni (14) può dedursi : 



«Fra le funzioni del sistema d'ordine zero debbono esi- 

 sterne r, <fi , (f 2 ... y r , indipendenti di cui tutte le altre sono 

 funzioni, e reciprocamente, ogni funzione d'ordine zero ottenuta 

 prendendo una funzione arbitraria di quelle r indipendenti, 

 apparterrà al sistema. 



« Le (fi , (p 2 ... (f r potranno chiamarsi le variabili indipendenti del 

 sistema isogeno. 



