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« Se dunque teniamo conto dei teoremi sopra dimostrati e di quello 

 dell'art. 5 potremo dedurre che, se <I> |[S r -i]| , F |Pv-i]| appartengono al 

 sistema, si ha 



dd> 



dF 



= (p(<Pi, (fi (fr) , 



ove (p è una certa funzione delle r funzioni indipendenti d'ordine zero del 

 sistema (fi , y> 2 ... g> r . 



« Se / è una funzione arhitraria di (fi , (p z ... <p r avremo 



(15) 



fdF = 0 , 



ove 8, è uno spazio chiuso che forma il contorno completo di uno spazio S r +i 

 entro il quale / e F non hanno alcuna singolarità. Se 



F= ((fi , (f 2 ... (f r ) 



la equazione precedente (15) potrà scriversi 

 4 ((fi ,(Pz - (p r ) 



(16) 



d («! , C0 2 ... <tf r ) 



d(o x do) 2 ... d(a r = 0 , 



supponendo di porre le equazioni dell' iperspazio S r sotto la forma 



Xi = Xi («i , <w 2 ... (o r ) . 



Posto 



7)w 



- d« s = d s (f i , 



la (16) potrà porsi sotto la forma 



(17) 



F((f x , (p 2 ... (f r ) 



d\ (fi , d 2 (Pi ••• SPi 



^1 (f2 ) ^2 9>2 — ^r- 9>2 



= 0 



C?! </V , d 2 (fr ... rf»- (fr 



u II teorema contenuto in questa formula corrisponde al teorema che 

 abbiamo dato come estensione di quello di Cauchy nel caso in cui si tratti 

 di funzioni elementari. 



« Se S r non è chiuso, ma è limitato da due iperspazi S 0 r _! e SV-i , 

 dopo che si siano tolti dall' iperspazio totale i luoghi di singolarità e si siano 

 eseguiti i tagli convenienti, di cui si è fàtto cenno nell'art. 7, avremo che 

 l'integrale che comparisce nel primo membro delle (17) non sarà più in gene- 

 rale nullo. Una volta stabilite le direzioni degli iperspazi SV-! , SV-i , S r 

 nel modo indicato nell'art. 7, avremo che l'integrale stesso non dipenderà 

 da S r ma solo da SV-i e SV-i ; onde denotando, come nell'art, citato, S 2 r -i 

 un iperspazio coincidente con SV-i m & preso in direzione contraria, potremo 

 scrivere l'integrale precedente 



Sv_, | Vi > ^2 (pi - d r (pi 



<Z> = f( 9l , 9l ... (f, n ) ; di (f % , d % (f t ... dr g> 2 



^' r ~ 1 | di (f r , dì (fr ... d r (f r 



