« Se si danno in queste equazioni (1) ad % r, s tutti i possibili valori, 

 quando esse non risultino tutte identicamente soddisfatte, stabiliranno un certo 

 numero di relazioni linearmente indipendenti fra Z\ , Z% ••• Z m , mediante le 

 quali o si riconoscerà 1' impossibilità della integrazione del sistema (I) o si 

 perverrà ad un nuovo sistema della medesima forma con un numero minore 

 di funzioni incognite. Così continuando è chiaro che, ove non risulti V incom- 

 patibilità delle equazioni differenziali (I), si arriverà a sostituire al sistema (I) 

 un sistema della medesima forma, pel quale le condizioni d' integrabilità 

 saranno tutte identicamente soddisfatte. 



« Supponiamo che questo sia già il caso pel sistema (I) cioè le a e le b 

 soddisfino le condizioni 



(A) ^- ^+ . " \ > > = 1 * > 



« Allora, come è ben noto il sistema (I) è illimitatamente integra- 

 bile, cioè si possono determinare z x , z 2 ... z m -, come soluzioni delle (I), in guisa 

 che per un sistema iniziale di valori (x x m x 2 (0) ... x n m ) delle variabili indi- 

 pendenti assumano valori arbitrariamente fissati s x m ^ 2 <0) ••• £m (0) • 



« 2. Per la effettiva integrazione del sistema (I), cerchiamo se è possi- 

 bile determinare m tali moltiplicatori 



jUj , f.Ì2 . . . Hm i 



funzioni soltanto di che moltiplicando il 1° membro della (I) 



per fii e sommando da i = 1 a i— m il risultato 



r=n 



+ 1 e 



x=i 



\ 



sia un differenziale esatto rispetto a tutte le n -f- m variabili 



X\ , X% ... Xfil Z\ f Z% ... Zyyi . 



« Indicando con <p la funzione di cui l'espressione er deve essere il dif- 

 ferenziale esatto, si avrà : 



~ùZi ~ì>X r £ri 



°H ~T 2_ S X 



« Scrivendo le condizioni d' integrabilità 



[ l ) Mayer, Mathematisehe Annalen. Bel. 5. 



