troviamo che deve soddisfare le equazioni 



cioè ,«! , ^ ... j(i m debbono essere integrali del seguente sistema di equazioni 

 a differenziali totali 



r—n />.=m \ 



(II) din + 7 I <>x W = 0 . 



r=\ \\=i ) 



i = 1, 2 , ... m . 



« Viceversa, se le ,u soddisfano questo sistema (II), l'espressione e è 

 un differenziale esatto. E infatti risulta 



i =m r—n i=m \=m r=n /i=m \ 



*=X fa — XXX ®9- i"* ^ — X ( X ,Ui ^ n ) ^ ' 



1=1 r=l i=i X=i r=l \i=l / 



ovvero permutando nella somma tripla gli indici di sommazione i, X ed osser- 

 vando le (II): 



i=m r=n / \ 



o" = d . X fi Zi — X ( X <" ; ^ n ) 



(=1 =1 \ i / 



« Ora la seconda somma, che dipende solo dalle se, è un differenziale 

 esatto, poiché dalle (B) e dalle (II) risulta 



c> v- „ i(s) " v- ,, iin . v- v / „in L(«) >..(s) uni 



-x x/'*(or-or) 



i=i \ / 



e il secondo membro è nullo, come si vede scambiando in una delle due 

 somme gli indici i, k. La funzione (p , di cui e è il differenziale esatto, è 

 adunque data da : 



(3) r/ = X fi * — \ X X Vi b i dx r • 



i=i J i-=i \i=i / 



« È chiaro che se nella (3) si pone per le g un sistema integrale delle (I), 

 la cp si riduce ad una costante, poiché si ha allora identicamente d<p — 0. 



« Il sistema (II) è illimitatamente integrabile, come il sistema (I) da 

 cui siamo partiti, perchè le equazioni (A) non mutano se, cangiando il segno 

 a tutti i coefficienti é~l , si scambiano contemporaneamente gì' indici i, 1. 



