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integrate le equazioni omogenee (I*) si avranno per quadrature gli integrali 

 z u z 2 ... B m del sistema più generale (I) colle formole 



(4') «, = y z? | a* + J i (z £ ^ b T ) I 



i = 1, 2, ... m , 



dove Ai , A 2 ... A m sono w costanti arbitrarie. 



« Il valore del determinante D si può calcolare per quadrature, a meno 

 d'un fattore costante, senza previa integrazione del sistema (I*). Formando 

 infatti la derivata di D rapporto a x r , osservando le (I*), si trova subito : 



->T» i=m 



e perciò 



D = e " =1 V=1 7 / 

 * E poi facile verificare, per mezzo delle (A), che l'espressione 



r=i i=l 



è effettivamente un differenziale esatto. 



« Da ultimo notiamo il caso, che ben spesso si presenta nelle applica- 

 zioni, in cui i due sistemi coniugati (I*), (IP) coincidono. Ciò ha luogo se 

 i coefficienti a$ verificano le condizioni 



< + «ff^o' af = 0. 

 « Allora fra due sistemi qualunque di soluzioni 



*i 4 t •••.*«» 



,< s > „<S) ■ ,<«) 



*i ó 2 • • • 



del sistema (I*) sussiste la relazione 



i=i 



e, scegliendo convenientemente i valori iniziali, si può fare in modo che i 

 coefficienti Zi (Jl) del sistema fondamentale (a) formino, per tutti i valori delle ss, 

 una sostituzione ortogonale. 



« 5. Applichiamo i risultati ottenuti al caso seguente. Sia z una funzione 

 incognita di n variabili indipendenti Xi, x% ... x n , determinata dal sistema di 

 equazioni a derivate parziali : 



