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che esprimono tutte le derivate seconde di z per funzioni lineari ed omo- 

 genee delle derivate prime e della funzione stessa, i coefficienti km 

 essendo funzioni assegnate delle x\ supponiamo inoltre che il sistema (III) 

 sia illimitatamente integrabile, cioè ammetta n-\-\ soluzioni z linearmente 

 indipendenti. Se poniamo 



n y J)i_ 1)Z_ J)Z_ 



Z il, ^2 , & 3 , ... Z n +\ , 



oX\ oX% cX n 



m — n-{-l, 



il sistema (III) è un caso particolare del sistema (P), ove ai coefficienti é$ 

 si attribuiscano i valori seguenti : 



(6) 



seguente 

 (7) 



(8) 



(r) 



i a[ r J — 0 per s|fc r -f- 1 , a[ 



( == bili ■> &i+l,s+l == Ciìl '■> h & == 1: 2, ... Il . 



« Le condizioni (A) d' illimitata integrabilità assumono quindi la forma 



Ih 



ir 



oX s 



0 per X % r,s 

 r 



= bir » A = S . 



« Di questo sistema (I*), dove le a$ hanno i valori (6), costruiamo il 

 sistema coniugato (IP), di cui 



sia un sistema di soluzioni. Dalle (IP) e dalle (6) risultano le forinole 

 ( 9 ) ~:~ =~^_b ir u i+l 



(10) 

 (10') 



~bX s 



■I 



X=l 

 >.=» 



■I 



per « 



Z(S) • • 9 v 



C x,s^x + —^i Per i — s. 



« Eisolviamo le (9) rapporto a 



^2 ) •■• 1 ! 



perciò, ponendo 



b n bi 2 . . . 



#21 #22 • • • b% n 



D = 



#rci ^n2 • • • b nn 



