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serie rappresenta in c ima funzione analitica regolare f(x) che soddisfa alle 

 relazioni : 



/ /K> = /(&), 



l — Po _ f(Pi) — C 0 f 



(4) ) Pi{*i) ~~ Pi (A) 



) fM — Co — Ci Pi ("2) _ fM — ep — d Pi (Pi) t 



f ^2(^2) 



e poiché la funzione analitica /(a?) è già completamente determinata dai va- 

 lori /"(a 0 ), /(«i), . . . f(a n ), . . . risulta dalle relazioni precedenti che f(x) 

 non si può prendere arbitrariamente. 



« Keciprocamente, data una funzione f(x) regolare in una cassinoide 

 connessa c, in cui si può supporre che cadano tutti i punti a n e p n . essa 

 potrà essere rappresentata da una serie della forma (2) convergente in c 

 qualora soddisfi alle (4). Infatti, si è visto che la f (x) è sviluppabile entro c 

 in una serie 



f(x)=2 (C n + Xc' n ) p n (x) 



ora facendo successivamente in questa x = a 0 , /?„ ; a : , /£ x ; — a n , /?„;... 

 e tenendo conto delle (4), viene 



C 0 = C 1 = . . . = C n = 0. 



Dunque : 



«Le relazioni (4) esprimono la condizione necessaria e 

 sufficiente affinchè una funzione data regolare in una cas- 

 sinoide connessa sia esprimibile in questa mediante una 

 serie (2). 



« 2. Se una serie (2) converge in un' ovale 0 di cassinoide non connessa, 

 essa converge ancora nell'ovale complementare 0', in cui però essa non rap- 

 presenta in generale la medesima funzione f(x) rappresentata in 0, ma una 

 funzione analitica diversa, che dirò fi (x). Puossi supporre senza restrizione 

 che tutti i punti a n cadano in 0, tutti i punti /?,, in 0'. Fra i valori della 

 funzione f(x) nei punti a n e quelli della funzione fi(x) nei punti p n pas- 

 sano allora le relazioni analoghe alle (4) 



A«o) = A(/?o), 

 — gp = fi (Pi) — g 0 , 

 ih («0 Pi (Pi) 



f (a t ) — f 0 — d p 1 («,) _ fi (p t ) — Cp — Ci p 1 (Pt) 

 Ih («2) P% (Pt) 



talché dall'esistenza della serie convergente (2) in una ovale 0, segue l'esi- 

 stenza di due funzioni analitiche f(x), fi (x), rappresentate ambedue dalla 

 serie, la prima nell'ovale 0 e la seconda nell'ovale 0\ e queste funzioni sono 

 legate dalle relazioni (5). 



