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« 3. Sia ora data una funzione analitica f(x) regolare entro tutta 

 l'ovale 0, in cui si suppone sempre che cadano tutti i punti a n , mentre tutti 

 i punti cadono nell'ovale complementare 0'. Integrando lungo il contorno 

 di 0, si ha (Nota I, § 3) 



S (x) = C tMìÈL _ f (An + A ' n x)pn {x) t 



e questo sviluppo è convergente tanto in 0 che in 0' e rappresenta la fun- 

 zione f(x) nel campo 0, e lo zero nel campo 0'. Le /(a 0 ), f{ a \) ■ • • • avendo 

 valori determinati, si potrà dalle equazioni (5) ricavare valori determinati 

 per fi (/? 0 ), fi • • • fi (/?«), • • • ; ed un teorema del Bendixson ( ! ) permet- 

 terà di riconoscere se esiste una funzione analitica regolare in 0', che assume 

 rispettivamente questi valori in /S 0 , §i , • • • /%«?■•.• Supposto che essa esista 

 ed indicandola con f\ {x), si avrà, integrando lungo il contorno di 0' : 



M*) = f ^^ = I(B n + B'^ n Or), 



e questo sviluppo convergente in 0 ed O r , rappresenterà la funzione f(x) nel 

 campo 0', e lo zero nel campo 0. 

 « Formiamo ora lo sviluppo 



S (x) + S, (x) = 2 (A„ + B„ + x (A'„ + B'n) ) p n (x) ; 

 questo rappresenterà la funzione f(x) in 0, la funzione f x (x) in 0' : ora fa- 

 cendovi x — ■ «o , poi x = /?o , e tenendo conto della prima delle (5), si ha 



A' 0 + B'o = 0; 



poi facendo x = a x , x = § x e per la seconda delle (5), viene 



A'x + B'i-O, 

 e così in generale si conclude dalle (5) che 



A n — J— B n • — 0 • 



Onde 



S(») + S,(*) = .»(A. + H.)M*) = |£ i {*{ ™ e 0'. ' 

 Si giunge così alla seguente conclusione : 



«La condizione necessaria e sufficiente affinchè una fun- 

 zione f(x) data regolare in un intorno del punto 1 sia svi- 

 luppabile in serie della forma (2), è che si possa determi- 

 nare una seconda funzione f\{x) che sia legata con f(x) 

 dalle relazioni (5). Questa seconda funzione si determina 

 sempre formalmente mediante la forinola di interpolazione 

 di Gauss estesa all'infinito, e per un teorema del Ben- 

 dixson, la convergenza della serie d'interpolazione dà la 



Q) Acta Math. T. IX (teorema a pag. 11). 



