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condizione necessaria e sufficiente della sua esistenza ef- 

 fettiva. 



« Questo teorema vale in ogni caso ; si tralasciano le modificazioni affatto 

 ovvie da fare alla dimostrazione quando non tutte le a n o §' n cadono in 0 od 0'. 



« 4. Come applicazione, dimostriamo che per ogni funzione data in un 

 intorno di x = 1 è possibile lo sviluppo in serie (2) quando /?„ = — a n . 

 Infatti in tal caso le relazioni (5) si riducono ad 



f(a m ) = /\ (— a m ) ; 



ora se esiste in un intorno di 1 la / (x) , esiste evidentemente, per la 

 stessa forinola d' interpolazione, la funzione fi (x) . Perciò ogni funzione data 

 regolare in un intorno di x — 1 è sviluppabile in serie 



f(x) = 2 c„ (x 2 — a 0 2 ) (x 2 — «! 2 ) ... (x 2 — a 2 OT _i) ; 



e questo sviluppo convergerà in generale in un ovale di cassinoide non con- 

 nessa. Soltanto se la / (x) è pari lo sviluppo potrà convergere in una cas- 

 sinoide connessa. 



« Questo caso speciale si può anche trattare direttamente colle posizioni 

 x 2 — l = t , a n - — l=y n 



che riconducono così il sistema ad essere ricorrente di primo grado. Le due 

 ovali di una cassinoide corrispondono a due cerchi eguali e sovrapposti nel 

 luogo della variabile t , che è una Eiemanniana a due fogli. 



« 5. Abbiamo dimostrato già l'esistenza di infiniti sviluppi dello zero 

 in serie della forma (3) : ora conviene considerare alcuni speciali fra questi, 

 e sono quelli ottenuti formando 



f -^- = o, 



y — x 



dove l' integrazione è estesa ad una circonferenza di centro § m e di raggio 



piccolissimo, ed applicata allo sviluppo di — - — - in serie della forma (3). 



y % 



Si ottengono così sviluppi dello zero della forma 



"m — 0 == (^/n-m ~ \~ XÌl m.m) firn ~\~ {J^m.m+i ~\~ XÌl m.m+l) Pm+l ~ f"~ "" i 



convergenti entro ovali O m , 0',„ tanto più piccole quanto più grande è m. 

 « Dato ora lo sviluppo di una funzione f\x) in serie 



/ (x) = 2 (C n + Zc'n) Pn , 



si possono determinare le costanti l in modo che sia 



/ C o ^9 il 0.0 0 , 



\ c\ — X a /i' 0 .i — ^i h\.\ = 0 



C m — ■ ^o h o.m ^i h ì.m "' ^m h-m.m • 



n 



