— 344 — 



« Intenderemo di considerare enti, ognuno dei quali è rappresentabile me- 

 diante due equazioni 



x = <f{t) , y=V(0 

 (f (t) e ip (t) essendo funzioni reali e continue di t in un intervallo determi- 

 nato che deve sempre, per tutti gli enti del campo, rimanere inferiore a un 

 numero finito A e però impiccolire sino a ridursi anche ad un punto solo. 

 « La curva essendo chiusa, queste funzioni avranno un periodo comune w. 



Se diviso il periodo » in due parti uguali da t 0 a t 0 -f- ^ e da £ 0 -j- - a 



t 0 -\-(o (t 0 valore iniziale di t per la curva che si considera) nei punti 



^0 + ^+^ e + ^ — ^ e ^ ue e tanno valori uguali, la 



curva risulterà di due linee coincidenti in ogni punto. 



« Sia fissato un numero positivo piccolo ad arbitrio a. Per una curva 

 continua, cioè per le q(t) e ip(t) relative ad essa, esisteranno infiniti numeri 

 £ diversi da zero tali che in Ogni tratto di valori di t di ampiezza eguale 

 o minore di f, l'oscillazione di ciascuna delle due q{t) e <p(t) sia minore di c 



« Sia r; il limite superiore delle f. 



« Se si considera un gruppo di infinite curve e si tien fisso il e, il nu- 

 mero rj varierà, in generale, da curva a curva. Se il limite inferiore 

 dei valori, che esso ha, corrispondenti a tutte le curve del 

 gruppo, è un numero X maggiore di zero, si dirà che le curve 

 del gruppo sono egualmente continue. 



« Il numero A, per un dato gruppo, sarà funzione di e il modo di 



l 



comportarsi di essa o piuttosto il modo di comportarsi del rapporto - al va- 



al variare di e, potrà servire a caratterizzare la eguale continuità delle 

 curve del gruppo. 



« Mostreremo che questa eguale continuità è condizione suf- 

 ficiente affinchè un gruppo qualunque infinito di enti, presi 

 comunque tra quelli dell'insieme pensato, abbia un ente- 

 limite. 



k 7. Si abbia dunque un gruppo di curve 



« Il limite inferiore delle proiezioni di esse sopra uno degli assi ad es. 

 l'asse x sia l^>0. 



« Ve ne saranno infinite che hanno, sull'asse medesimo, una proiezione 

 superiore ad l per meno di un numero e piccolo ad arbitrio : ovvero, sola- 

 mente un numero finito che ne hanno una eguale ad / e tutte le altre, una 

 superiore pér più di un numero assegnabile y. 



