« In questo secondo caso, o ve ne saranno infinite aventi una proiezione 

 superiore ad l-\-y per meno di e: ovvero, solamente un numero finito che 

 ne hanno una eguale e tutte le altre, una superiore ad l y per più di un 

 numero assegnabile yi ■ • Così continuando o si trova uno dei numeri l , l -\- X , 

 / -j- y -)- )>!,... . tale che esistono infinite curve del gruppo aventi proiezione, 

 su uno degli assi, prossima ad esso quanto vuoisi, o altrimenti vi sarà pei 

 numeri precedenti, un limite h determinato e finito, ed è manifesto che esi- 

 steranno infinite curve con proiezione prossima quanto vuoisi a questo h. 



« Si consideri dunque il gruppo formato delle infinite linee aventi proie- 

 zioni prossime quanto vuoisi ad uno dei numeri l , l-\-y , l-\-y-\-y\ , h. 



« Si indichi con a un tal numero. 



« Per non moltiplicare le notazioni si può senz'altro intendere che un 

 tal gruppo sia il gruppo 1). 

 « Le funzioni 



% — 9>i(t) , X — (pz {t) , 



* Quando si assuma t per ascissa e 'x per ordinata ci rappresentano un 

 gruppo di curve tali, che il limite inferiore delle proiezioni di essa sull'asse 

 delle t sarà pure una quantità determinata maggiore di zero perchè l'oscil- 

 lazione di una qualunque delle <p x (t) , (f 2 (t) , . . . . nel tratto di valori di t 

 nel quale si considera, è almeno eguale ad l; e allora, per quanto dianzi s'è 

 detto sulla eguale continuità, essendo per dato l ^> 0 , il tratto di valori di t 

 nel quale una qualsiasi delle (fi (t) , <p z (t) , . . . è considerata, deve essere 

 eguale o superiore ad un numero determinato <?>0, e un tale tratto di 

 valori t è appunto la proiezione sull'asse t di una delle <pi (l) , (f 2 (t) , . . . . 

 Ma ogni punto di una qualsiasi delle curve del gruppo 1) è, come fu detto, 

 individuato da una coppia di valori x e y corrispondenti a uno stesso valore 

 di t variabile entro un intervallo determinato per ciascuna delle curve 

 medesime. 



« Per conseguenza, se assumendo t per ascissa, y per ordinata, si consi- 

 derano le curve 



y = l p 1 (t), y = x i h {t), .... 



il limite inferiore di tutti i tratti di valore di t nei quali queste ip^t) ,ip 2 (t) , .... 

 sono date, sarà anch'esso almeno eguale a d. 



ti Ora, il prof. G. Ascoli nella sua pregevole Memoria, Sulle curve limiti 

 di una varietà data di curve pubblicata nei volumi di cotesta Accademia 

 (anno 1884) ha dimostrato che per un gruppo di linee come le 

 2) x = <p x (.t) , sc = g>i(t), 



aventi tutte sull'asse t una proiezione maggiore di un determinato numero 

 ó ^> 0, e inferiore a un numero finito assegnabile, la eguale continuità è ap- 

 punto la condizione necessaria e sufficiente affinchè vi sia una linea limite 

 che è egualmente continua colle curve del gruppo e ha sull'asse 7 una proie- 

 zione non inferiore a J. 



