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« Quella curva del gruppo, le cui proiezioni sugli assi sono comprese tra 

 rji e jj 2 si rinchiudano in quadrati di lato ^ : quelle le cui proiezioni sono 

 comprese tra > /2 e » /3 , in quadrati di lato r l% e così via di seguito. 



« Il gruppo di punti costituito dai centri di questi infiniti quadrati am- 

 mette un punto-limite ed è manifesto che esso è ente-limite pel nostro gruppo 

 di curve. 



« In ogni caso rimane dunque provato che la eguale continuità è con- 

 dizione sufficiente per la esistenza di un ente-limite ('). 



« 10. Penseremo ricoperto il campo C di una varietà di curve che sodisfi 

 alle seguenti condizioni : 



« 1° La varietà sia perfetta, cioè, secondo il significato attribuito da 

 Cautor a questa denominazione: ogni ente della varietà, sia per essa un ente- 

 limite e ogni ente-limite sia ente della varietà medesima. 



* 2° Se l x e 'K z indicano due enti qualunque, esista sempre nella va- 

 rietà data, almeno un insieme di enti tali che, considerato a sè, formi un 

 insieme perfetto e mediante punti presi uno sopra ognuno di tali enti, si possa 

 ottenere una linea continua (le cui equazioni, cioè, siano X = <D(t) , Y = W (t) 

 <P e X F funzioni continue), la quale unisce ^ a lj e ogni ente dell'insieme 

 che si considera sia ente-limite per ogni successione di enti le cui distarne 

 dall'ente medesimo vanno indefinitamente impiccolendo. 



« 11. Ciò premesso, chiameremo funzione degli enti che costi- 

 tuiscono la varietà egualmente continua, che noi pensiamo 

 nel campo C, una quantità che haun valore determinato per 

 ciascuno di tali enti: e con ragionamento identico a quello usato per 

 le funzioni dipendenti dai punti di un campo, si dimostra subito, anche per 

 le nostre funzioni, il noto teorema di Wejerstrass: vi è, nella varietà, 

 almeno un ente in ogni cui intorno il limite superiore dei 

 valori della funzione è quello che si ha per l'intera varietà. 



« Sia 



??1 > r i3 ■> ■ ■ • • 



una successione di numeri positivi indefinitamente e costantemente decrescenti. 



« La L è il limite superiore della funzione per la varietà che indiche- 

 remo con s, esiste almeno un valore L, compreso tra L e L--^, , che la fun- 

 zione certo assume in qualche ente della varietà. 



« Si indichi tale ente con f. 



f 1 ) Nella, Nota Un'osservazione intorno alla serie di funzioni, pubblicata nei Ken- 

 diconti dell'Accademia della scienze di Bologna (1883), io avevo già mostrato che, pre- 

 supposto un limite determinato, per ogni x fisso al crescere di n, in una serie di funzioni 

 Ui{%) , u-,{x) date in un intervallo, la eguale continuità di esse è la condizione necessaria 

 e sufficiente affinchè la funzione limite abbia la continuità assoluta rispetto alle due varia- 

 bili n e x in ogni coppia di valori (oo , x): il che porta precisamente che la u x ,(x) sia 

 ente-limite secondo il concetto qui posto. 



Rendiconti. 1889, Vol. V, 1° Sem. 45 



