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« Parimente esiste un valore L 2 compreso tra L e L_vi 2 che la fun- 

 zione assume pure in qualche ente : sia questo l'ente l 2 e così si continui. 



« Il gruppo degli enti l x , l 2 , . . . . ammette un ente-limite che appar- 

 tiene alla varietà: e questo, come subito si vede è l'ente, del quale si tratta. 



"12. La funzione si dirà continuain un certo ente, se il 

 valore che ha in esso è il limite dei valori che essa ha 

 negli enti di qualsiasi gruppo, avente per unico ente-limite 

 1' ente considerato. 



« Si dimostrano subito anche qui i teoremi ben noti sulle funzioni con- 

 tinue di punti. 



« 1° Vi è almeno un ente, nel quale la funzione ha per 

 valore il suo limite superiore. 



« Si consideri l'ente del quale si tratta nella proposizione che precede. 

 Essendo esso ente- limite pel gruppo l x , 1% , . . . . determinato come sopra si 

 è detto, il valore ivi deve essere, a cagione della continuità, il limite dei 

 valori corrispondenti agli l x , l 2 .... : deve dunque essere L. 



« 2° In altro ente raggiunge il limite inferiore. 

 « 3° La funzione prende ogni valore compreso tra il suo 

 massimo e il suo minimo. 



« Indichi l x l'ente in cui la funzione raggiunge il suo massimo, 1 2 quello 

 in cui raggiunge il minimo. In virtù della seconda condizione cui si è sup- 

 posta soggetta la varietà di enti che si considera, si può, alla considerazione 

 dell'insieme T di enti che allaccia con continuità X x e l 2 , sostituire quella 

 della linea continua resultante dai punti presi, come ivi è detto. 



« La nostra funzione diviene allora funzione dei punti di una tale linea 

 continua e si vede subito che essa è funzione continua. 



« Si consideri sulla linea un punto qualsiasi m e insieme una succes- 

 sione arbitraria di punti m x , m 2 , m 3 , . . . . avente per unico punto-limite il 

 punto m. 



« Gli enti corrispondenti a questi punti siano rispettivamente l x , l 2 , l 3 , .... , 

 l 0ì e l 0 sarà, per la seconda condizione cui è soggetta la varietà di enti s, 

 ente-limite per gli enti l x , l 2 , l 3 , . . . . 



« Il valore in l 0 , cioè in m, è dunque il limite dei valori che la fun- 

 zione ha negli enti l u l\ , l 3 , . . . cioè, nei punti m y , m 2 , m 3 . . . . il che 

 dimostra l'asserto. 



« Segue da ciò, che in qualche punto della linea cioè in qualche ente 

 della insieme T la funzione prende un valore qualsiasi compreso tra il mas- 

 simo e il minimo » . 



