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Matematica. — Su una proprietà delle superficie algebriche 

 dotate di singolarità qualunque. Nota di G. B. Guccia, presentata 

 dal Socio Cremona. 



« 1. Siano [01 = 0, [ l F] = 0, [X] = 0 tre sistemi lineari qualunque di 

 superficie algebriche. Supporremo che ciascuna delle tre superficie generiche <1>, 

 W, X passi in modo qualunque, ma dato, per dei punti P l7 P 2 , . . . e delle 

 curve (piane o gobbe, dotate di singolarità qualsiasi) C 1? C 2 , . . . , dati, co- 

 munque, nello spazio ; intendendo con ciò che ove due o più curve C passino 

 (in modo qualunque) per un medesimo punto, questo sia uno dei punti P. 

 Cosicché nei punti P e nelle curve C si riassumono, in vario modo, le sin- 

 golarità basi dei tre sistemi. In particolare si può supporre che una o due, 

 al più, delle superficie generiche <1>, W, X non passino per un punto P ovvero 

 per una curva C. E però, nell'indicare con (B) la base complessiva dei tre 

 sistemi, cioè l'insieme dei punti P e delle curve C, non intendiamo escludere 

 il caso che alcuni di questi punti e curve fondamentali intervengano soltanto 

 nelle singole basi di due ovvero di uno dei sistemi medesimi. 



« Nelle più generali ipotesi che posson farsi sulle singolarità basi di tre 

 sistemi lineari (bensì sui mutui rapporti di contatto di due superficie gene- 

 riche in un punto, ovvero lungo una curva, comune ; etc.) consideriamo ora, 

 rispetto ad uno dei sistemi proposti, [(I>] = 0, la totalità delle superficie 

 Fj, F 2 , . . , ognuna delle quali sia di ordine qualsivoglia, e tale che : 



« 1° nelle vicinanze di qualsiasi punto o curva base Pj, C? sostituisca 

 identicamente la superficie generica <I>: a) nelle singolarità che questa su- 

 perficie possiede in Pj e in C,-, b) nel modo come, in P, e in C,-, la detta 

 superficie si comporta rispetto a ciascuna delle altre due superficie gene- 

 riche V e X; 



« 2° possegga, ulteriormente e comunque, punti e curve singolari, tali 

 però, che i nuovi punti siano a distanza finita dai punti P e dalle curve C, 

 e le nuove curve non passino pei punti P e non incontrino le curve C. 



« Ciò premesso, in vista della proprietà che ci proponiamo di dimostrare 

 supporremo fin da ora e formalmente : che il sistema lineare = 0 sia 

 tale, che fra le superficie F l5 F 2 , . . . , di ordini qualsioogliano. e definite 

 come sopra, ne esista una {almeno), F, di genere zero {ornalo ide). 



« 2. Siano X 2 , . .: , ; f/, 1 , fx 2 , • • • ; »'i , v 2 , . .... , rispettivamente, i 

 parametri arbitrari dei sistemi lineari [<J>] =0, = 0, [X] = 0, le cui 

 superficie generiche W, X supporremo degli ordini l, m, n. Assumendo ad 

 arbitrio due sistemi di valori dei parametri (,u) e due sistemi di valori dei 

 parametri (r), determiniamo, rispettivamente nei sistemi [W^\ = 0 e [X] = 0, 

 due coppie di superficie: 



W r =0, Y s =0; X £ = 0, X l( = 0, 



