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•caso (Prop. Ili) la congiungente CD è eguale ad AB, nel secondo è minore 

 di AB, nel terzo è maggiore di AB : e viceversa (Prop. IV). Di questi tre 

 casi, che l'Autore considera ab initio come egualmente possibili, egli chiama 

 il primo hypothesis anguii recti, il secondo hypothesis cuiguli obtusi, il terzo 

 hypothesis anguii acuti e dimostra subito, in tre consecutive Proposizioni 

 (V, VI e VII), che ciascuna di queste tre ipotesi si vel in uno casu sii vera, 

 semper in omni casu Ma sola est vera. 



« Questa è già, come ognun vede, una proposizione molto simile a quella 

 ben nota di Legendre, salvo in quanto all'estensione sua, che è maggiore: 

 ma un teorema che fa ancor più perfetto riscontro a quello di Legendre (*) 

 si trova più innanzi, dopo alcune proposizioni intermedie, di cui dirò in ap- 

 presso, e cioè nella Prop. XV, la quale suona così : Ex quolibet triangolo, 

 cujus tres simal anguii aequales sint, aut majores, aut minores cluobus 

 rectis, stabilitur respective hypothesis aut anguii recti, aut anguii obtusi, 

 aut anguii acuti. Anzi l'Autore mostra di compiacersi in questo genere di 

 criteri atti a verificare ciascuna delle tre ipotesi o, come diremmo ora noi, 

 ciascuna delle tre geometrie , giacché dimostra ancora (Prop. XVI) che : 

 Ex quolibet quadrilatero cujus quatuor simili anguii aequales sinU aut 

 major 'es, aut minores quatuor rectis, stabilitur respective hypothesis aut 

 anguii recti, aut anguii obtusi, aut anguii acuti; e, più oltre (Prop. XVIII), 

 che : Ex quolibet triangulo ABC, cujus angulus ad punctum B in uno 

 quovis semicirculo existat, cujus diametro AC, stabilitur hypothesis aut 

 anguii recti, aut anguii obtusi, aut anguii acuti, prout nempe angulus ad 

 punctum B fuerit aut rectus, aut obtusus, aut acutus. Né mancano propo- 

 sizioni che implicano il confronto di grandezze lineari, anziché angolari, giac- 

 ché per esempio la Prop. XIX suona così: Eslo quodvis triangulum AHD 

 rectangulum in H. Tum in AD continuata sumalur portio DC aequalis ipsi 

 AD, demittaturque ad AH productam perpendicularis CB ; dico stabilitimi 

 hinc iri hypiothesim aut anguii recti, aut anguii obtusi, aut aaguli acuti, 

 prout portio HB aequalis fuerit, aut major, aut minor ipsa AH ( 2 ). 



« Ed a questo punto può dirsi che veramente cominci quello che l'Au- 

 tore chiama (pagina XII) il suo diuturnum praelium adversus hypothesin 

 anguii acuti, quae sola renuit veritatem illius Axiomatis : parole che ben 

 tradiscono il costante preconcetto di lui contro quella ch'egli altrove appella 



(*) 11 teorema cui qui si allude non fu pubblicato che nel 1833, in una Memoria 

 postuma, inserita fra quelle dell'Accademia delle Scienze di Parigi, t. XII, p. 367. Ma Le- 

 gendre conosceva già il teorema fino dal 1808 almeno, come risulta da una lettera che 

 diresse in quell'anno a Terquem, il quale era pervenuto, in una sua propria ricerca, alla 

 medesima conclusione (Vedi Terquem, Manuel de Géométrie, Nota I). 



( 2 ) Questa proposizione, come forse qualche altra, richiede qualche restrizione rispetto 

 •alla seconda ipotesi. Quest'ipotesi, esclusa già dal P. Saccheri, come si vedrà in seguito, 

 non è stata da lui esaminata cosi minutamente come la terza. / 



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