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inimicarti anguli acuti hypothesim e che egli vuole a primis usque radi- 

 cibus revidsam, sibi ipsa repugnantem ostendere (Scolio in fine della prima 

 parte del libro primo). 



« Ma debbo innanzi tratto dire qualche cosa del modo in cui l'Autore 

 esclude l'altra ipotesi dell'angolo ottuso, ossia, diremmo ora noi, la geometria 

 sferica. Questa esclusione si fa ora con pochissime premesse (Legendre, Lo- 

 batschewsky) : ma anche il nostro Autore avrebbe potuto anticiparla di molto 

 se non avesse avuto la manifesta intenzione di far procedere di pari passo, 

 il più a lungo possibile, gli ^svolgimenti relativi alle sue tre ipotesi. È 

 solo nelle tre Proposizioni XI, XII e XIII ch'egli dimostra come le condi- 

 zioni del postulato si verifichino non solo nell' ipotesi dell'angolo retto, ma 

 anche in quella dell' angolo ottuso. Ciò basta, in fondo, ad escludere que- 

 st'ultima, e questo appunto dichiara l'Autore nella prima dimostrazione che 

 dà della Prop. XIV: Hypothesis anguli obtusi est absolute falsa, quia se 

 ipsam destruit. Ma la sua seconda dimostrazione è più esplicita. Sia ABC 

 un triangolo rettangolo in B. La somma dei due angoli A e C è, nell'ipotesi 

 dell' angolo ottuso, maggiore di due retti : se dunque si conduce dal punto C 

 una retta CT tale che i due angoli YCA, CAB valgano insieme 5 due retti, 

 l'angolo YCB riesce necessariamente acuto. La retta CY si trova per tal modo, 

 rispetto alla AB prolungata dalla parte del punto B, in questa condizione 

 che, se si guarda alla trasversale BC, essa dovrebbe incontrarla, e, se si 

 guarda invece alla trasversale AC, non dovrebbe incontrarla (Euclide, 17, I). 

 L'ipotesi dell'angolo ottuso, conclude dunque il P. Saccheri, è insussistente. 

 Ma anche dopo avere così esclusa quest'ipotesi, egli non la perde del tutto 

 di vista e ne fa di nuovo menzione, se avviene ch*essa si presti ad una tal 

 quale simmetria di deduzioni; del che ho già dato esempio citando propo- 

 sizioni posteriori alla XIV or ora riportata. Comunque sia è certo che spetta 

 al nostro Autore la priorità del teorema, dato molto più tardi da Legendre, 

 che la somma dei tre angoli d'un triangolo non può superare due retti. 



« La discussione accurata dell'ipotesi dell'angolo acuto s'inizia colla Pro- 

 posizione XVII che suona così : Si uni, ut libetj cuidam parvae rectae AB 

 insistat ad rectos angulos recta AH, dico subsistere non posse, in hypo- 

 thesi anguli acuti, ut quaevis BD, e/ficiens cum AB quemlibet angulum 

 acutum versus partes ipsius AH, occursura tandem sit ad finitam, seu ter- 

 minatam distantiam, ipsi AH productae. Duolmi di non poter riportare la 

 duplice dimostrazione che l'Autore dà di questo teorema ed altre sottili os- 

 servazioni che vi si coilegano. Debbo pur passare sotto silenzio altri notevoli 

 teoremi ed una lunga disquisizione in cui entra poscia l'Autore, negli 

 Scolii I, II e III della Prop. XXI, a proposito di certe idee di Proclo, del 

 Clavio, del Borelli, dell'arabo Nassir-Eddin e di Wallis. Non posso però ta- 

 cere d'alcune notevoli considerazioni che mette innanzi l'Autore, per esempio 

 di quella delle linee equidistanti da una retta, su cui dovrò ritornare in 



