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sicché dovrà essere 



V(V) — <P (v) = lp (v) -f (f (v) 



<P(v) = — y (v) 



ossia 



cf(v) = 0. 



« L'elemento lineare si potrà dunque scrivere: 



ds 2 = du 2 -f xp 2 (v) e R dv 2 . 

 Se ora supponiamo che v sia l'arco di linea o contato a partire da un suo 

 punto, poiché facendo nella precedente espressione u = 0, du = 0 essa di- 

 venta 



ds = xp (v) do , 



si vede immediatamente che dovrà essere xp (v) = 1 , e la forma difinitiva 

 dell'elemento lineare sarà: 



_ 2» 



Q> ds 2 = du 2 -\- e n - du 2 . 



Questa mostra immediatamente come la superficie sia applicabile sul tipo 

 parabolico di rotazione, in guisa che le geodetiche coincidano coi meridiani, 

 e le traiettorie ortogonali coi paralleli : queste ultime sono quindi altrettante 



linee a curvatura geodetica costante = — ■ 



« 2. Per ridurre l'elemento lineare alla forma isoterma isometrica, 

 basta porre 



(2) dJJ = e n du U = Re R 



ds 2 = e~ w (dU 2 -{-do 2 ) 



Si otterrà immediatamente una rappresentazione conforme della superficie sul 

 piano ponendo 



u 



( 3 ) x = v y — Re 1 



« In questa rappresentazione (') tutta la superficie viene rappresentata 

 dalla metà del piano superiore all'asse y = 0, le geodetiche dai semicerchi 

 normali alla retta y = 0, la linea o dalla retta y = R, e le geodetiche ad 

 essa normali dalle rette x == cost. Tutti i punti all'infinito della superficie 

 sono rappresentati dai punti della retta y — 0, la quale è da ritenersi come 

 chiudentesi all'infinito, nel, punto di concorso delle rette x = cost. ( 2 ). Ne 



(1) Cfr. Bianchi § 81 



( 2 ) Ed invero se immaginiamo un semicerchio normale alla retta y = 0 nei due 

 punti AB, e supponiamo che restando fisso A, il raggio del semicerchio vada crescendo, 

 il punto B andrà continuamente allontanandosi. Esso raggiungerà il punto all'infinito della 

 retta y = 0 quando il raggio del semicerchio sarà diventato infinito ; ma allora esso si 

 sarà trasformato nella retta condotta pel punto A, normalmente alla retta y = 0. 



