miamo uno dei due oricicli passanti per essi come linea u =- 0 : in virtù della 



rappresentazione (3) le linee o x o 2 g ver- 

 <^^Z ~~ ^ ' ranno trasformate nei tre cerchi 0/ o 2 ' g 



A — ^B^x^-y- (il primo tangente alla retta y = 0 nel suo 



Ojì punto all'infinito). Indicheremo con s 0 ed s g 

 i due archi di oriciclo e di geodetica ri- 

 spettivamente, compresi fra i punti A e B, e con « 0 l'angolo compreso fra 

 un oriciclo e la geodetica. L'arco s 0 sarà misurato direttamente dalla porzione 



di retta A' B', mentre la 

 considezione del triangolo 

 A' P C fornisce immedia- 



0' tamente. 



- 1 



(4) fc«o = |j 



« Ponendo in questa 



relazione co 0 = — se ne trae 



u 



s 0 = 00, e si ritrova il teorema già enunciato, che un oriciclo e la geodetica 

 ortogonale si incontrano nello stesso punto all'infinito. 



« 3. Ci proponiamo ora di cercare la relazione fra l'arco di geodetica Sg 

 e l'arco di oriciclo s 0 compresi fra i due punti A e B. 



« Pel teorema di Liouville ( ! ) quando l'elemento lineare di una super- 

 ficie è dato sotto la forma: 



ds 2 = ) A (a) + B(/?)j (da 2 -f- dp) 



l'equazione di una geodetica qualunque si può scrivere 



A sen 2 6 — B cos 2 0 = C. 



essendo 6 l'angolo che essa forma colle linee y = cost, C una costante. Nel 

 caso dell'elemento lineare (2): 



A = e R B = 0 



e l'equazione diviene: 



_ 2» 



e K sen 2 6 = C. 



ossia introducendo in luogo di 8 l'angolo a>, che la geodetica forma colle 

 linee 0 , (u = cost.) : 



_ ii 



e R cos o) = C . 



(!) Monge, Applications de l'Analyse à la Geometrie. Note HI me . 



