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« Questo problema non è stato mai risoluto. La soluzione che ne daremo 

 più innanzi riposa sullo stesso principio che ci ha guidati nella soluzione del 

 problema analogo nel piano ('); e però, estenderemo alle superficie la defi- 

 nizione di singolarità composta in un punto, ed applicheremo poscia il Lemma 

 sulle superfìcie algebriche che abbiamo stabilito in una Nota precedente ( 2 ). 

 Pur tuttavia è da notare che, mentre nel piano il teorema che risolve la 

 questione è scevro affatto da qualsiasi restrizione, lo stesso non può dirsi del 

 risultato che faremo conoscere in questa Nota. Ciò non recherà sorpresa ove 

 si abbia riguardo a' mezzi ben limitati di cui disponiamo allo stato presente 

 della Scienza per affrontare, in tutta la loro generalità, siffatti problemi dello 

 spazio, la cui soluzione può solo permettere di fondare una teoria dei punti 

 singolari delle superficie algebriche. 



« 2. Indichiamo con \jf]., [<f], H le singolarità, ben determinate, che 

 le superficie date W, X posseggono, rispettivamente, nel punto P. 



« In ordine ad una di queste superficie, ad es. consideriamo la to- 

 talità delle superficie ì\ , F 2 , • • • di qualunque ordine, ognuna delle quali 

 sia tale che: 



1° nelle vicinanze del punto P sostituisca identicamente la superficie 4> : 

 a) nella singolarità \_q~], b) nel modo come in detto punto la stessa super- 

 ficie si comporta rispetto a ciascuna delle due altre superficie date Y e X ; 



2° possegga, ulteriormente e comunque, punti e curve singolari, in 

 guisa però, che, i nuovi punti siano a distanza finita dal punto P e le nuove 

 curve non passino pel punto P. 



« Ciò posto, supporremo fin da ora che per la superficie $ sia soddi- 

 sfatta la seguente condizione, cioè: 



(A) che nella totalità delle superficie Fi, F 2 , . . . , defi- 



f 1 ) Sur Vintersection de deuos courbes algébriques en un point sìngulier (Comptes 

 Kendus de l'Académie des sciences de Paris, t. CVII, n. 17, p. 656, séance du 22 octo- 

 bre 1888). In ordine a' lavori che ci hanno preceduto, per via diversa, nella risoluzione 

 del problema nel piano, veggansi principalmente l'importante ed estesa Memoria del 

 signor Halphen : Sur les points singuliers des courbes algébriques planes (Kecueil des 

 Savants étrangers, t. XXVI) e la Memoria, più recente, del signor Zeuthen: Sur un growpe 

 de théorèmes et formules de la géométrie énumérative (Acta Mathematica, 1. 1). In questo 

 ultimo lavoro, pubblicato nel 1882, l'illustre geometra danese si esprimeva nei seguenti 

 termini : « Il serait trop long de citer tous les procédés, invente's par d'e'minents géomètres 

 « (MM. Cayley, de la Gournerie, Painvin, Halphen, Nother, Stolz, Smith) pour le dénom- 

 « brement des intersections confondues de deus courbes; je me bornerai à rappeler que 

 « la plupart des méthodes reposent sur la considération des ordres des divergences infi- 

 li niment petites des branches des courbes, ou bien des ordres de contact de ces branches ». 



( 2 ) Su una proprietà delle superficie algebriche dotate di singolarità qualunque 

 (Questi Eendiconti, voi. V, 1° semestre, fase. 5, p. 349, seduta del 3 marzo 1889). 



