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« 6. Un'altra applicazione della proprietà generale dimostrata nella Nota 

 precedente ci è suggerita da un problema algebrico relativo alla teoria delle 

 trasformazioni razionali nello spazio. 



« È noto, dai classici lavori del Cremona, che una rete omaloidica di 



curve 



[cp] a x g>! -4- a 2 c/> 2 -J- a 3 (f 3 = 0 



individua una, ed una sola, corrispondenza razionale fra i punti del piano 

 (o di due piani), e però la rete omaloidica inversa 



[>] = /?! Xp t + /? 2 ip 2 + /?, V 3 = 0 . 



« Parimenti, un sistema omaloidico di superfìcie (*) 

 [<I>] = y, + y 2 $ 2 -f- y 3 $ 3 -f- y 4 3> 4 = 0 



individua una, ed una sola, corrispondenza razionale fra i punti dello spazio 

 (o di dua spazi) a tre dimensioni, e conseguentemente il sistema omaloidico 

 inverso 



[VF] = ò 1 Tx + <? 2 Y 2 + <? 3 l F 3 + à t = 0 . 



« Pur tuttavia, mentre per le trasformazioni piane si ha la notevole 

 proprietà che le due reti e [i//] sono del medesimo ordine (e però, come 

 dicesi, le due trasformazioni con ciù si passa da una figura all'altra sono 

 del medesimo grado), lo stesso non ha luogo per le trasformazioni nello spazio: 

 i sistemi omaloidici [$] e [Y] non sono, in generale, del medesimo ordine. 

 Sorge dunque la questione seguente, che ci proponiamo di risolvere : 



« Dato un sistema omaloidico che serve di base ad una trasfor- 

 mazione razionale nello spazio, determinare il grado della trasformazione in- 

 versa, cioè l'ordine fi del sistema inverso [*F] che ne risulta. 



« Siano Q> r = 0 , <1> S — 0 , <ì>t = 0 , = 0 quattro superfìcie arbitrarie 

 (linearmente indipendenti) del sistema dato [$] — 0 . Indichiamo con tt # ì1 

 genere della sezione piana arbitraria della superficie generica $ = 0 , e con 

 il genere della sezione piana arbitraria della superficie 



S = <EV <P S -\-a<t>t $ M = 0 . 



« Siccome è noto, il numero cercato fi non è altro che l'ordine della 

 curva mobile residua intersezione di due superficie arbitrarie del sistema 

 [<jf] = 0. Cosicché, supposto, nel Teorema del n. 4 della precedente Nota, 



(!) Ci sia lecito ricordare, in ordine alla definizione dei sistemi omaloidici, un teo- 

 rema che abbiamo dimostrato or sono due anni: Affinchè un sistema lineare di 

 •superficie algebriche (dotato di singolarità base qualunque) sia un 

 sistema omaloidico, è necessario e sufficiente che tre superficie arbi-. 

 trarie del sistema si seghino inun sol puntomobile. Vi ha bensì un teorema 

 analogo per le reti omaloidiche di curve piane. (Cfr. Sui sistemi lineari di superficie 

 algebriche dotati di singolarità base qualunque. Eend. Circ. Matem., t. I, p. 338-349). 



