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considereremo i seguenti numeri: 



p$ip il genere della curva mobile, variabile coi parametri (X) e (/.i) , 

 residua intersezione delle superficie generiche 0 = 0 e W = 0 ; 



i J #S" e PwS" 1 generi delle curve mobili, variabili (rispettivamente) 

 coi parametri (X) e (fi) , residue intersezioni delle superficie 



0 = 0, E r = Wr'Ws' + a'Wf W u , = 9eT=0, E"== <b r „ + d'fy, q> u „ = 0, 

 dove a', a" sono costanti arbitrarie e = 0 , W s > = 0 , W t r = 0 , W u ' = 0 ; 

 $ r >, == 0 , O s " = 0 , <& t 'r = 0 , 0„" == 0 sono superficie scelte ad arbitrio 

 rispettivamente nei sistemi [ V F] = 0 , [0] = 0 ; 



Q r il numero dei punti mobili, variabili coi parametri (X) e (fi), re- 

 sidua intersezione di una superficie del sistema [0] = 0 con due superficie 

 del sistema W = 0 ; ed analogamente : 



Q" il numero dei punti mobili, variabili coi parametri (X) e (fi), re- 

 sidua intersezione di una superfìcie del sistema [^F] = 0 con due superficie 

 del sistema 0 = 0. 



« 3. Supponiamo, nel Lemma della Nota I a , che i tre sistemi lineari 

 [0] = 0 , = 0 , [X] = 0 , ivi contemplati, coincidano in un solo, [0] = 0. 

 Si ha allora immediatamente la seguente proposizione: 



« Teorema I. — Dato un sistema lineare di superficie al- 

 gebriche, [O] = 0, dotato di singolarità base qualunque, fra 



1 numeri Q, e p$g, definiti come al n. 2 e invarianti per 



sima base. Basta per ciò ricordare la definizione del genere di una curva gobba data dal 

 Nfither ed osservare che, quando tre superficie Fi, F 2 , F 3 degli ordini re, , w 2 , n 3 passano 

 per una curva (M) dell'ordine M che è risp. i t — pia , u — pia , i 3 — pia per le mede- 

 sime , il numero delle loro intersezioni assorbite da questa curva è dato da 



(b) ' M (i 2 i 3 n t + i ? ii n-i ii i-i n 3 ) — h, 



dove h è un numero indipendente da tii , n 2 , n 3 (cfr. Nother, Sulle curve multiple di su- 

 perfìcie algebriche, Annali di Matematica, s. II a , t. V, p. 162). 



Pur tuttavia le formole (a) suppongono essenzialmente che le curve basi C siano 

 curve multiple ordinarie per le superficie generiche '4', X, in guisa che per ognuna di 

 esse i piani tangenti in un punto siano distinti e diversi per le tre superficie. Nel caso 

 generale, quando cioè le superficie generiche <f , <P', X passano in modo qualunque per le 

 curve C, non è lecito applicare la forinola (£) ; bisogna partire invece dalla forinola generale : 



(c) M (I M Wi -\- 1 31 %ì + 112 %j) + g, 



dove: I rs è il numero delle intersezioni, riunite in un punto di (M), delle due curve che 

 si ottengono segando con un piano le superficie F r ed F s , e g è un numero {positivo o 

 negativo) indipendente da n 2 , n 3 , siccome è facile di dimostrare. Allora, le formole che, 

 per applicazione della (c), si ottengono invece delle (2)', danno luogo ad una riduzione 

 analoga nella relazione Q' -\-p-gip~\~P~px — ^F{? =1 > ove s'invochi a tal riguardo il 

 teorema E( S ) — -SE*' — 2^1^ = 0 (pag. 22 del presente volume). Non concedendocelo lo spazio 

 daremo su ciò in altro luogo gli opportuni svolgimenti. 



