— 493 — 



qualsiasi trasformazione birazionale dello spazio, esiste la 

 relazione 



(1) Q + 2p # #— i>#s=l. 



Se Q = 1 il sistema è omaloidico , siccome abbiamo dimostrato al- 

 trove ('), e però determina una trasformazione birazionale fra i punti dello 

 spazio. In tal caso p^ e p^ esprimono i generi di curve che corrispondono, 

 punto a punto, rispettivamente a rette ed a coniche. Ne segue dunque che 

 per Q = 1 si ha necessariamente p$ # = 0 , p^g = 0 . 



« 4. Nello stesso Lemma supponiamo che due dei tre sistemi lineari 

 ivi contemplati coincidano in un solo, [Y] = 0 ovvero [O] = 0 . Si hanno 

 allora immediatamente le seguenti relazioni: 



Q' + 2p 4 , ip — p € pg = 1 , 



Q"4- tyw —PvS" — 1 ; 



dalle quali ricavasi 



(2) Q'— W=p$&— Pv#>< 

 Cosicché : 



«Teorema II. — Dati due sistemi lineari di superficie 

 algebriche, [<&] = 0 e [*F] = 0, dotati di singolarità base qua- 

 lunque, comunque disposte, fra i numeri Q', Q", p^ e p^" , 

 definiti come al n. 2 e invarianti per qualsiasi trasforma- 

 zione birazionale dello spazio, esiste la relazione (2). 



« 5. Pel sistema lineare [T] = 0 , contemplato nel teorema precedente, 

 assumiamo il sistema co 3 dei piani dello spazio. In tal caso si ha: 

 Q'=»# , Q"=<Z ## , p*5'=p$s , p- 4 ^" = 7T S- 



E però : 



«Teorema III. — Dato un sistema lineare di superficie 

 algebriche, [$] = 0 , dotato di singolarità base qualunque, 

 fra i numeri n$ , (1$$, p$$ e ng, definiti come al n. 2, ha 

 luogo la relazione 



(3) n# — = p$ s — tt s . 



« 6. Supposto, nel teorema del n. 4 della Nota I, che i due sistemi 

 lineari = 0 , [X] = 0 , ivi contemplati, coincidano, in guisa che si abbia 

 un solo sistema lineare, [$] — 0 , si ottiene allora immediatamente 



— n s — 2^ -|- 1 ; 



donde, in virtù del teorema III, 



(4) ^ + 2^—^8 = 1. 



« Dalla quale formola ricavasi la seguente proposizione: 

 « Teorema IV. — Data una superficie algebrica, dotata di 

 singolarità qualunque e variabile in un sistema lineare, il 



Q) Rend. del Circolo Matematico, t. I, p. 348. 

 Rendiconti. 1889, Vol. V, 1° Sem. 



64 



