PfS il genere della curva mobile, variabile coi para- 

 metri (A), residua intersezione della superficie generica F=0 

 con la superficie 



S = F, P t + àF s P„ = 0 , 

 dove: a è una costante arbitraria, F r = 0 , F s = 0 sono due su- 

 perficie scelte ad arbitrio nel sistema [F] = 0, e P £ = 0 , P„ = 0 

 sono due prime polari relative a due superficie qualunque 

 del sistema medesimo; si ha 



(6) n'=p F s-2PFP + Ì (h- 



« 8. In una importante Memoria pubblicata nel 1887 negli Annali di 

 Matematica del prof. Brioschi ( 2 ), il sig. Halphen è riuscito, pel primo, a 

 determinare l'ordine della curva parabolica di una superfìcie algebrica dotata 

 di singolarità qualsiasi. Siamo ora in grado di far conoscere un' altra espres- 

 sione di questo numero, molto semplice, che si presenterà a noi come una 

 conseguenza immediata del teorema del n. 4 della Nota I a , il quale, è utile 

 ricordarlo, non è affetto da alcuna restrizione. 



« E noto che il luogo dei punti parabolici di una superficie algebrica, 

 dell'ordine n, 



F '— F , Xi , Xz , &±) = 0 , 

 è dato dall'intersezione di questa superficie con un'altra superficie algebrica, 

 dell'ordine 4 (n — 2), 



H = V d * Y ^ F d * F ^ F _ o 



cltjc^ dtjc^ doc^ (loc 4^ 



la sua hessiana, che è il luogo dei punti doppi delle prime polari, ovvero 

 il luogo dei punti le cui quadriche polari sono dei coni, etc. Se la superficie 

 F — 0 possiede una curva singolare (di moltiplicità JÌL 2) per questa curva 

 passa, necessariamente, la superficie H — 0. Cosicché, in generale, la curva 

 parabolica è data dall'intersezione residua delle superficie F = 0 e H = 0, 

 oltre le curve singolari di F = 0 i cui gradi di moltiplicità per questa su- 

 perficie sono ri 2. 



« Ciò premesso, enuncieremo senz'altro la proposizione che risolve il pro- 

 blema, quale ricavasi facilmente dal teorema citato: 



« Teorema VI. — Sia [FJ = 0 l' equazione di una superficie 

 algebrica, dotata di singolarità qualunque, il cui primo 



( J ) Per difetto di spazio ci asteniamo dal fare applicazione di questo risultato al 

 caso di singolarità ordinarie onde ritrovare la forinola data dal Ncither nella classica Me- 

 moria: Zur Theorie des eindeutigen Entsprechens algebraischer Gebilde, Zweiter Aufsatz, 

 p. 505 (Math. Annalen, Vili). 



( 2 ) Seconda serie, tomo IX, pag. 68. 



