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« 2. Per ottenere le ulteriori proprietà della trasformazione T giova ser- 

 virsi dei fasci generatori <P, <P' (l'uno di superficie F 4 l'altro di congruenze Qi_ 3 ) 

 già accennati; e da prima si noti che i raggi del complesso r che escono 

 da un punto P della Cu vengono a corrispondere univocamente alle singole su- 

 perficie del fascio <P, se si assume come corrispondente di un raggio r la 

 superficie F 4 che nel fascio <P corrisponde alla congruenza del fascio Q>' 

 ■che contiene la r. Con ciò la curva generata dalla corrispondenza si spezza 

 nella C 4 comune al cono del complesso di vertice P ed alla quadrica I 2 

 sostegno delle cubiche direttrici delle congruenze del fascio e nella curva 

 che nella trasformazione è coniugata al punto P, sicché quest'ultima curva è 

 di 5° ordine, cioè la C n è fondamentale quintupla per la trasformazione T. 



« 3. Nel fascio delle C 3 =ABCD che si hanno sulla quadrica I 2 

 ve ne sono quattro degeneri. La congruenza Qi_ 3 del fascio che ha per 

 direttrice una qualsiasi di queste cubiche degeneri (quella per es. che si 

 spezza nella conica K 2 = BCD e nella retta k=k di r) si spezza nella 

 congruenza Qi_ 2 che ha per direttrici le k, K 2 e nel sistema delle rette 

 del piano « = BCD; sicché la superficie F 4 = #K 2 , che nel fascio c& corri- 

 sponde a tale congruenza, sega il piano a oltre che nella K 2 in una seconda 

 conica A 2 la quale viene incontrata da ogni retta del piano « in due punti 

 coniugati nella trasformazione T, sicché in questa la A 2 è coniugata per in- 

 tero ad ogni suo punto. 



« E siccome la conica K 2 contiene semplicemente i tre punti B, C, D, 

 della Cu, perciò gli altri otto punti (aC n ) sono sulla conica A 2 , ciò che di- 

 pende anche dal fatto che la A 2 essendo fondamentale doppia e di 2 a specie 

 per la T (avendo cioè per coniugata una linea e non una superficie) deve ap- 

 poggiarsi in otto punti alla Cu che è l'unica curva fondamentale di l a specie 

 della trasformazione ( , ). 



« Kipetendo gli stessi ragionamenti per gli altri tre piani fondamentali 

 @; y, 8 del complesso f, si ottengono altre tre coniche fondamentali doppie 

 di 2 a specie B 2 , C 2 , D 2 della T ; e si ha il teorema che : 



«La curva di è segata da ciascuno dei piani fondamen- 

 tali del complesso che determina, oltre che nei punti fonda- 

 mentali di tale piano, in otto punti situati su una conica 

 che è fondamentale doppia per la trasformazione deter- 

 minata dalla Cu. 



« 4. I raggi del complesso F situati in un qualsiasi piano n vengono 

 riferiti alle superficie F 4 del fascio <P in modo che ad ogni superficie del fascio 

 corrispondono i tre raggi del piano che appartengono alla congruenza di 0' 

 che corrisponde alla superficie considerata; sicché viceversa ad ogni raggio 

 corrisponde un'unica superficie. 



(') V. Cremona, Su le trasformazioni razionali dello spazio. Annali di matematica. 

 Serie II, tomo V, § 9. 



