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colle sue direzioni ci darebbe tutte le direzioni coniugate alle tangenti della 

 famiglia cp. Reciprocamente le tangenti delle linee y> sono conjugate alle 

 tangenti delle linee ip; dirò pertanto cbe le due famiglie y, ip sono tan- 

 genzialmente conjugate fra loro. 



« La natura delle linee xp tangenzialmente conjugate a una data fami- 

 glia di linee <p dipende dalla natura analitica e geometrica della superficie 

 costituita dalle y stesse, e varia col deformarsi della superficie, insieme alle 

 linee di curvatura, ancbe se la deformazione è in elastica: tuttavia vi sodo 

 due famiglie di linee tangenzialmente conjugate che hanno delle notevoli 

 proprietà, sulle quali, con questa breve nota, desidererei di richiamar l'atten- 

 zione di qualche geometra. 



« 2. Designando con « l'angolo che comprendono due linee tangenzial- 

 mente conjugate qualunque si ha la formula: 



(3) tang. « = + j/EG — 



( ED^fD l )(|^+(ID J -GD,)(|)+ro,-eD ! 



da cui si conclude immediatamente che le uniche linee tangenzialmente 

 conjugate ortogonali sono le linee di curvatura, e che sulle superficie a cur- 

 vatura negativa, e su queste soltanto esistono due sistemi distinti e reali di 

 linee tangenzialmente conjugate a loro stesse, ossia di linee asintotiche. Quindi 

 per le superficie a curvatura positiva l'angolo &>, se reale, è compreso fra 

 due certi limiti che ci proponiamo ora di determinare. 



« 3. Per semplificare una tale ricerca, e, insieme, le dimostrazioni dei 

 teoremi che ne derivano, supponiamo che la superficie sia riferita alle sue 

 linee di curvatura ed indichiamo con a, % i parametri di queste, e con E<j, E T 

 i corrispondenti raggi principali, si avrà: 



u 2>X 



a Dt ■ 



= — Jft<j- — ' 

 e quindi: 



(4) tfs 2 = E T D/^ 2 -f-EsD' 3 di 2 , 



D' 2 = 0 



ove D'i , D' 2 , D r 3 rappresentano i valori che prendono D x , D 2 , D 3 in questo 

 sistema di coordinate. Dalla (3) poi si deduce 











~ò* 







~òy 





Dt 













tang co 



_ _| / Rqt E t 



~~ V D',D' 



