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da cui, introducendo l'angolo 0^ che le linee <p fanno colle t = cosi, si ha 

 l'espressione 



, B ff cotg 6<? -f- E T tang 0?» 

 (5) tang co = tì^ — ' 



Jtt(j — Ii T 



nella quale non compariscono, oltre all'angolo di direzione 0, che i raggi 

 principali di curvatura. Se si ha K<j — E T = 0, l'angolo w è necessariamente retto 

 qualunque sia 0 ¥ , a meno che la superficie si riduca ad un punto; perciò 

 sopra una sfera le linee tangenzialmente conjugate a una famiglia qualsiasi 

 sono le loro trajettorie ortogonali. 



« Rappresentiamo in generale con 0 i valori di 6^ , per i quali w diviene 

 massimo o minimo, e questi valori saranno dati dalle radici dell'equazione 



2 _ 1 / Rt Rg \ n 



C0S W R, — R T _ \sen 2 0' sen 2 ©j -U ' 

 che può scriversi come segue: 



(R\ fu p \ Rt sen 2 0 — R g cos 2 0 _ 



(0 ) ^ — R T 2 sen 2 0 + R, 2 cos 2 0 ~ U ' 



e che, astrazion fatta dal caso della sfera, conduce a porre 

 (7) tang0 = ±j/|?. 



a meno che una delle curvature principali non sia nulla. Se poi una di 

 queste curvature si annulla, non si ha 0 = 0 o 0 = 90° come potrebbe a 

 priori presumersi dalla considerazione delle asintotiche di una sviluppabile, 

 ma non vi è nè massimo nè minimo; ed infatti se per esempio si suppone 

 R g = oo , e si scrive la (6) sotto la forma 



l R T \ l sen20 - cos20 _ Q 



R"a \ R<7/ R 2 T o /-, I a 



sea 2 0 -f- cos 2 0 



si deduce 



R 2 

 cos 2 0 



0, 



sen 2 0 



lo che è assurdo. Per interpretare geometricamente questo risultato basta 

 riflettere che, in questo caso, la sviluppabile circoscritta alla linea y qualun- 

 que non è che la sviluppabile sulla quale la linea si considera descritta; 

 quindi le linee tangenzialmente conjugate alla famiglia <p sono sempre le 

 generatrici della sviluppabile stessa, ossia le sue asintotiche. Ora se imma- 

 giniamo che l'angolo 0 9 venga contato a partire da tali generatrici, la (5) 

 ci dà tang « = tang 6^ , e facendo crescere continuamente 0 ? cresce in pari 

 tempo continuamente w. 



« 4. Soltanto nel caso in cui la superficie non sferica che si considera 

 sia a curvatura positiva l'equazione (7) dà due valori distinti e reali di tang 0, 



