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i quali corrispondono l'uno a un massimo l'altro a un minimo di w, giacché 

 si ha 



<Pm 4 B g R T (R 2 T — Wg) cos 2 6 



ma geometricamente tali due valori non danno che due uniche direzioni fra 

 loro tangenzialmente coniugate, e che si tagliano sotto l'angolo Sì dato dalla 

 formula 



(8) tang^ + f^L 



« Da ciò risulta che, dato l'angolo Sì come funzione di u, v, e la forma 

 dell'elemento lineare della superficie, restano completamente determinati in 

 tutti i punti i raggi principali di curvatura, e si ha un altra relazione in 

 termini finiti fra gli enti caratteristici E, F, Gr, Di, D 2 , D 3 della superficie 

 stessa, oltre a quella notissima 



EG-F 

 Di D 3 — J)' l 2 



ed alle due a differenze parziali, già indicate dal Codazzi. Per questo, e per 

 quanto sono ancora per esporre, all'angolo Sì darò il nome di angolo carat- 

 teristico, e dirò linee caratteristiche le linee tangenzialmente conjugate della 

 superficie, che si tagliano sotto questo angolo. 



« Le equazioni differenziali delle linee caratteristiche si ottengono dalla (7) 



esprimendo 6 in fonzione del rapporto e si trova 



(9) 



j/D/ da + J/D 3 ' d% = 0 

 j/D? da — |/d7 dr = 0 



« Se si considera ancora l'ellisse indicatrice delle flessioni (ellisse di 

 Dupin) nel punto M = M (r, <s) e si suppone che le linee di curvatura % sieno 

 quelle inviluppate dalle geodetiche di minima flessione si ha, come è noto, 

 designando con e l'eccentricità dell'ellisse suddetta 



e 1 = 1 — tang 2 0 , 



e, per questo, l'azimut 0 può esser detto il modulo di ellitticità della super- 

 ficie. Osserviamo per ultimo come la condizione generale (1) in questo caso 

 ci dia 



D/ 



(10) tang e 9 tang (ty = — — = tang 2 0, 



d'onde si vede che il modulo di ellitticità resta determinato dalle direzioni 

 di due diametri conjugati qualunque dell'ellisse indicatrice suddetta. 



« Prima di studiare più intimamente le linee caratteristiche osserviamo 

 che. quantunque geometricamente manchino di significato se la superficie è a 

 curvatura negativa, tuttavia le loro equazioni (9), col solo cambiamento del 

 segno di D 3 ', seguitano a godere della proprietà fondamentale indicata nel 



