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precedente § 4, trasformandosi nelle equazioni delle due famiglie di asinto- 

 tiche della superficie stessa. Così per generalizzare le nostre considerazioni 

 anche al caso di una superficie a curvatura negativa basta definire per linee 

 caratteristiche le linee reali rappresentate analiticamente dalle due equazioni 



\ j/D? da — y= D 3 ' dt = 0 



« L'angolo caratteristico sarà l'angolo compreso fra le caratteristiche e 

 rimarrà definito dalla formula 



(12) tang + 2 1~ Ra Rt - 



•rt R<r — R T 



ove, nella frazione, i segni superiori corrispondono al caso di una superficie a 

 curvatura positiva. Finalmente si dirà semplicemente modulo l'angolo 0 

 sotto cui le linee caretteristiche tagliano le linee di curvatura, ed avremo; 



tang 0 = ± tang tang 0< 



Ma tutti cotesti enti sopra definiti perdono ogni importanza se la superficie 

 è sviluppabile, giacché allora le caratteristiche coincidono con un unica fami- 

 glia di linee di curvatura. 



« 6. Rappresentando con % l'angolo compreso fra la normale principale 

 di una curva tp e la normale alla superficie, si ha: 



dhc , v ^|| , 7 d 2 z\ _ d 2 x 

 ds> -* 2X ds* 



d 2 x ~ò z x / du\* . ~ò 2 x dudv_. ~ò 2 x /dv\ 2 ~òx d 2 u . ~òx d 2 v 



~ds 2 ~~^\ds) ' l)ul>vd^ds'~^v 2 \ds) + ~ 



e se la curva appartiene alla superficie si deve porre: 



~òu ds 2 1 ~òv ds 2 

 e quindi le importanti formule già note: 



[ cosy Di du 2 -f- 2 T> 2 dudv -f- ì)%dv 2 _ IduV dudv . /dvV 



\ $ E du 2 + 2F dudv + G dv 2 ' 1 \ds ) + 2 ds ds~^ 3 \ds) 

 ^ kosx Dj E sen 2 (w — 0) -{- 2 D 2 f/EG sen e sen (w — (9) -f- D 3 G sen 2 e 

 ( ? ~ EG-F 



le quali non solo contengono i teoremi di Meusnier e di Eulero sulla curva- 

 tura delle linee della superficie, e l'altro che la ricerca delle linee 

 di curvatura equivale alla ricerca di una trasformazione di 

 coordinate tale che renda simultaneamente F = 0 , D 2 = 0 , ma 

 danno altresì il significato dei tre enti fondamentali D!,D 2 ,D 3 . 



« Se designamo con cì ;l& z i parametri fondamentali delle famiglie carat- 

 teristiche, con q c , Xc il raggio di curvatura ed il valore di % lungo queste, 

 avremo dalle (14) 



