ove i segni superiori corrispondono al caso di una superficie a curvatura posi- 

 tiva; quindi il teorema: Nelle superficie a curvatura positiva il 

 raggio di curvatura delle geodetiche che inviluppano le 

 caratteristiche, nel punto di tangenza è eguale alla media 

 aritmetica dei raggi di curvatura principali della super- 

 ficie. 



« La (15) poi dimostrerebbe ancora che il piano osculatore di un asin- 

 totica è tangente alla superficie, e che le geodetiche tangenti ad essa hanno 

 curvatura nulla nel punto di contatto. 



« La torsione geodetica -i nella direzione 0 ? è data dalla nota formula 



J (ED 2 — FDQ du 2 -f (ED 3 — GD,) du dv + (FD 3 — GD 2 ) dv* 



T <? ' j/EG — F 2 (E du 2 + 2 F du dv + G dv 2 ) 



e non si annulla se non lungo le linee di curvatura. Riferendo a queste la 

 superficie si ottiene 



1 d(Jdr 

 TrT — (Rt — R<j) 



y r t Rd 



Tg G/ R T D'!^ 2 + R s D r 3^ s 



e quindi lungo le caratteristiche si ha 



Qg\ / 1 \ _ R s R T 



V T fl /„ (B 0 =fc R T ) y =t R a R T ' 

 d'onde il teorema: In una superficie a curvatura positiva il pro- 

 dotto dello pseudoraggio (inversa della radice della curvatura) per il 

 raggio medio è eguale al doppio prodotto del raggio di tor- 

 sione geodetica lungo le caratteristiche per la differenza 

 dei raggi principali di curvatura, e l'altro: In una superficie a 

 curvatura positiva il rapporto fra la curvatura e la torsione 

 delle geodetiche che inviluppano le caratteristiche è eguale 

 alla tangente trigonometrica dell'angolo caratteristico. 



« Per le superficie a curvatura negativa poi il quadrato della 

 torsione geodetica in una direzione caratteristica è uguale 

 alla curvatura della superficie ed è quindi una funzione 

 invariabile. Questo teorema però fu già indicato in un noto lavoro del 

 prof. Beltrami. 



« 7. Rappresentiamo con Fi , F 2 due fattori integranti rispettivi delle 

 equazioni differenziali (11) che rappresentano le linee caratteristiche, e sieno 



Ci = Ci (cr , t) 

 Cì = 02(0, 1) 



i corrispondenti integrali generali: si avrà evidentemente 

 Dei -|-, .f^r 7>tfi 



